[Eren]

Saludos a todos.

He pasado ya un buen rato intentando resolver el ejercicio siguiente:

        Sean $$a$$ y $$b$$ elementos de un anillo. Defínase $$a^{(0)} = a$$, $$a' = [a,b] = ab - ba$$ e, inductivamente, $$a^{(k)} = [a^{(k-1)}, b]$$ (nótese que, por brevedad, no se indica la dependencia de $$a^{(k)}$$ de $$b$$). Demostrar la siguiente fórmula:
                \[
                  \sum_{i = 0}^k b^i a b^{k-i} = \sum_{i = 0}^k \binom{k + 1}{i + 1} b^{k-i}a^{(k)}.
                \]

Procedí a intentar una demostración por inducción, pero no logro dar con las manipulaciones que me den el resultado correcto. ¿A alguno de ustedes se le ocurren los cálculos para obtener una demostración por inducción?

[Eren]

Ya lo tengo.

Por inducción sobre $$k$$. Para $$k = 0$$ la fórmula es trivialmente cierta. Supongamos que la fórmula se cumple para cierto natural $$k$$. Entonces
  \begin{align*}
    \sum_{i = 0}^{k+1} b^i a b^{k-i+1}
     & = b^{k+1}a + \left( \sum_{i = 0}^{k} b^i a b^{k-i} \right)b                        \\
     & = b^{k+1}a + \left( \sum_{i = 0}^{k}\binom{k+1}{i+1} b^{k-i}a^{(k)} \right)b
    &\text{(por hipótesis de inducción)}                                           \\
     & = b^{k+1}a + \sum_{i = 0}^{k}\binom{k+1}{i+1}b^{k-i}a^{(i)}b                          \\
     & = b^{k+1}a + \sum_{i = 0}^{k}\binom{k+1}{i+1}b^{k-i}
    \left( a^{(i+1)} + ba^{(i)} \right)
    &\text{(puesto que $a^{(i)}b = a^{(i+1)} + ba^{(i)}$)}                                    \\
     & = b^{k+1}a
    + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k+1}{i+1}b^{k-i}a^{(i+1)}
    + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k+1}{i+1}b^{k-i+1}a^{(i)}                                      \\
     & = b^{k+1}a + a^{(k+1)}
    + \sum_{i = 1}^{k+1} \binom{k+1}{i}b^{k-i+1}a^{(i)}
    + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k+1}{i+1}b^{k-i+1}a^{(i)}                                      \\
     & = \sum_{i = 0}^{k+1} \binom{k+1}{i}b^{k-i+1}a^{(i)}
    + \sum_{i = 0}^{k+1} \binom{k+1}{i+1}b^{k-i+1}a^{(i)}                                    \\
     & = \sum_{i = 0}^{k+1} \left[ \binom{k+1}{i} + \binom{k+1}{i+1} \right]b^{k-i+1}a^{(i)} \\
     & = \sum_{i = 0}^{k+1} \binom{k+2}{i+1} b^{k-i+1}a^{(i)},                                \\
  \end{align*}
de manera que la fórmula se verifica para $$k+1$$, luego es cierta para todo número natural $$k$$.

[Eren]

Saludos de nuevo.

Me surgió la curiosidad por saber en dónde se utiliza la fórmula de arriba. El ejercicio aparece en la primera sección del capítulo 2 de Basic Algebra I de Jacobson, en esencia conformada por la definición de anillo y algunos ejemplos elementales. Y como yo no sé mucho más de lo que se presenta en esa parte, no tengo ninguna idea sobre un contexto en el que esa fórmula sea relevante o más natural. ¿Alguno de ustedes la ha visto en algún lado?