Buenas noches a todos. ¿Cómo contestarían ante la pregunta de cuál sería el procedimiento para calcular la suma de dos radicales que no son semejantes, es decir, que no tienen el mismo radicando? Por ejemplo: \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \). En los textos de secundaria (al menos aquí en Argentina) generalmente nos dicen que sólo podemos calcular la suma de radicales si son semejantes y cuando no lo son "no se puede" sino que se deja expresado como la misma suma nomás.
Es una pregunta muy interesante, en la que interviene un factor psicológico que habría que discutir primero para clarificar la pregunta y, por tanto, la respuesta que requiere. Me refiero a que en tu pregunta das por hecho que ciertas cosas se pueden calcular y otras no, y es cuestionable que la distinción sea coherente. Veamos:
Dices que os dicen que "sólo podéis calcular la suma de dos raíces cuando son semejantes". ¿Y cómo la calculáis? ¿Te refieres, por ejemplo, a esto: \( \sqrt 5+\sqrt 5 = 2\sqrt 5 = \sqrt{20} \)? ¿Consideras que ahí has calculado la suma de raíces? ¿Por qué? Al final has dejado una operación indicada. No has calculado la raíz cuadrada de \( 20 \). ¿Qué diferencia hay entre dar como respuesta \( \sqrt 2+\sqrt 3 \) (con dos raíces y una suma sin calcular), o dejar una raíz cuadrada sin calcular? En ambos casos el cálculo estaría "incompleto", ¿no?
Imagina que te pido resolver la ecuación \( x^2-x-1=0 \) y me dices que las raíces son
\( \displaystyle \frac{1\pm \sqrt 5}2 \).
¿Podrías calcularlas o consideras que ya las has calculado? ¿Las has calculado ya? ¿A pesar de que has dejado una raíz, una suma y un cociente sin calcular?
Ahora imagina que resuelves esta integral:
\( \displaystyle \int_1^2\frac{dx}x=\ln 2 \).
¿Podrías calcular el resultado o lo has calculado ya? ¿Lo has calculado ya aunque hayas dejado la función logaritmo sin calcular?
Sería interesante que precisaras si tienes una idea concreta de lo que entiendes por "calcular" que responda coherentemente a estas preguntas. En parte de tu mensaje pareces tenerla y vas encaminado:
Pues bien, claramente sabemos que esa suma existe, de ahí a que pareciera no existir un método algorítmico para obtener el resultado exacto (tal y como sería una simple suma de 18+15) es otra cosa. Al alumno se le presentan las siguientes dudas: ¿Cómo se entiende que, en estos casos, hay que "dejar expresado así nomás" como una suma? ¿Por qué no procedemos a calcular esa suma?
Esa pregunta depende fuertemente de qué esperas obtener. ¿Cuando propones calcular la suma, qué clase de resultado esperas?
Cuando ponemos en la calculadora esa suma la máquina nos devuelve el resultado: ¿cómo lo hace?.
Ah, pero la calculadora no te devuelve "el resultado", te devuelve una aproximación racional al resultado. ¿Es eso lo que buscas? ¿Una aproximación racional al resultado? Pero entonces ten presente que si das como respuesta \( \sqrt 2+\sqrt 3 \) estás dando el resultado exacto, incluso diría, (por poner un poco el dedo en el ojo), que has
calculado el resultado exacto, mientras que si respondes \( 3.146243699 \), que es lo que da la calculadora, estás dando un resultado inexacto, una aproximación racional a un número irracional. Según el objetivo del cálculo será preferible una cosa o la otra. Por ejemplo, si eso es el resultado final, en ciertos contextos puede ser más útil la aproximación decimal, pero si tienes que emplear el resultado en otros cálculos posteriores, la expresión exacta puede ser más conveniente, porque a lo mejor te permite simplificar ciertas expresiones que no podrías simplificar sin saber que el número que estás manejando no es un mero decimal, sino exactamente \( \sqrt 2+\sqrt 3 \).
En cuanto a cómo lo hace, nunca me he puesto a estudiar los algoritmos concretos que usan las calculadoras, que están estudiados para ser eficientes, pero si tu pregunta es cómo se puede encontrar una aproximación racional arbitrariamente buena de \( \sqrt 2+\sqrt 3 \), la respuesta es muy simple: aproxima las dos raíces y suma las aproximaciones. Cuanto más exactas sean las aproximaciones de las raíces más exacta será la aproximación de la suma. Por ejemplo:
\( \displaystyle \sqrt 2 \approx \frac{19\,601}{13\,860}=1.41421356421356\ldots \) \( \displaystyle \sqrt 3 \approx \frac{18\,817}{10\,864}=1.73205081001473\ldots \)
Así tienes dos números racionales que aproximan a las raíces. Si los sumas obtienes
\( \displaystyle \frac{19\,601}{13\,860}+\frac{18\,817}{10\,864}=\frac{16\,919\,603}{5\,377\,680}=3.14626437422829\ldots \)
que es una aproximación de la suma. Seguro que no es la que usa una calculadora, pero es un ejemplo de la idea: busca las aproximaciones de las raíces como más te convenga, y súmalas.
Pues bien, ¿qué me dicen ustedes que se puede contestar a eso?. ¿Podríamos decirle que este tipo de suma se realiza considerando la aproximación por polinomio de Taylor de la función \( f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)
en el punto \( (2,3) \) o hay alguna otra explicación más simple?
La calculadora no puede usar ese polinomio de Taylor porque hace las operaciones según se las encuentra: primero calcula las raíces y luego las suma, es decir, primero aproxima las raíces y luego suma las aproximaciones sumando decimales, y procurará realizar los cálculos con la precisión suficiente para que los decimales que te muestra sean exactos, cosa que no tiene por qué cumplirse siempre.
