Hola.
Estaría bien que aportaras algo de contexto al problema y que dijeras qué paso es exactamente el que necesitas que detallemos más.
Ten en cuenta que \[ X \] y \[ X^c \] son abiertos
\[ X \] es abierto porque lo dice el enunciado. También dice que es cerrado, luego \[ X^c \] es abierto porque es el complementario de un cerrado.
no vacíos (uno contiene a \[ a \] y el otro a \[ b \]),
El enunciado dice que \[ a\in{X} \]. También que \[ b\not\in{X} \]. De aquí que \[ b\in{X^c} \].
disjuntos
Un conjunto es disjunto de su complementario por definición de complementario.
y cuya unión es \[ M \],
Esto también es por definición de complementario.
de manera que cualquier subconjunto \[ S\subseteq{M} \] que contenga a \[ a \] y \[ b \] admite la separación \[ S\cap{X}, S\cap{X^c} \].
Un conjunto \[ S \] se dice que no es conexo si existen dos abiertos disjuntos \[ U, V \] tales que \[ S=U\cup{V} \].
En nuestro caso \[ S\cap{X}, S\cap{X^c} \] son abiertos en \[ S \] (en la topología de subespacio heredada) por ser intersección de \[ S \] con abiertos de \[ M \].
El hecho de que \[ M=X\cup{X^c} \] garantiza que cualquier \[ S\subseteq{M} \] es la unión de los dos abiertos indicados.
Un saludo.
