[Eparoh]

Hola a todos, mi duda es si los siguientes resultados son ciertos y como demostrarlos:

Resultado 1
Sea \( f:[a,b] \longrightarrow X \) una función continua, siendo \( (X,d) \) un espacio métrico y consideremos \( P_n \) la familia de particiones de \( [a,b] \) tales que \( P_n=\{x_0, x_1, \cdots, x_n\} \) con \( x_0=a \) y \( x_i=a+i\frac{b-a}{n} \). Entonces, \( L(f,P_n) \leq L(f,P_{n+1}) \) donde

\( \displaystyle L(f,P_m)=\sum_{i=0}^{m-1} d(f(x_{i+1}),f(x_i)) \)

Este segundo resultado se que es cierto bajo ciertas condiciones de derivabilidad y si consideramos \( X=\mathbb{R}^k \), pero me gustaría saber si es cierto en esta generalidad o con alguna hipótesis más general que la derivabilidad:

Resultado 2
Sea \( f:[a,b] \longrightarrow X \) una función continua, siendo \( (X,d) \) un espacio métrico y supongamos que existe y es finito

\( L=\sup\{L(f,P): P \text{ es una particion de } [a,b]\} \)

Entonces, dado \( \varepsilon >0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que si \( \left |{P}\right | < \delta \) se cumple que

\( \left |{L-L(f,P)}\right | < \varepsilon \)

Definimos para una parcición \( P=\{x_0, x_1, \cdots, x_n\} \), \( \left |{P}\right | = \max\left\{\left |{x_{i+1} - x_i}\right |: i=0, \cdots, n-1 \right\} \).

Un saludo y gracias por las respuestas.

[geómetracat]

El primero es falso, desde luego. Por ejemplo toma \[ f:[0,1] \to \Bbb R^2 \] como la poligonal con vértices \[ (0,0), (1/2,1),(1,0) \], y compara \[ L(f,P_2) \] con \[ L(f,P_3) \]. En este caso, la poligonal asociada a \[ P_2 \] coincide exactamente con el camino, pero la asociada a \[ P_3 \] no, por lo que la asociada a \[ P_3 \] va a ser más corta.
En general, lo que pasa es que la longitud nunca va a disminuir si tomas un refinamiento de la partición, pero las particiones \[ P_n \] son totalmente distintas, por lo que no hay ningún motivo para que no disminuya.

[Eparoh]

Hola,

El primero es falso, desde luego. Por ejemplo toma \[ f:[0,1] \to \Bbb R^2 \] como la poligonal con vértices \[ (0,0), (1/2,1),(1,0) \], y compara \[ L(f,P_2) \] con \[ L(f,P_3) \]. En este caso, la poligonal asociada a \[ P_2 \] coincide exactamente con el camino, pero la asociada a \[ P_3 \] no, por lo que la asociada a \[ P_3 \] va a ser más corta.

Cierto, quise ver más allá de lo que realmente había 

En general, lo que pasa es que la longitud nunca va a disminuir si tomas un refinamiento de la partición, pero las particiones \[ P_n \] son totalmente distintas, por lo que no hay ningún motivo para que no disminuya.

Claro, con refinamientos es fácil simplemente por la desigualdad triangular, y es cierto que no es aplicable para las particiones \( P_n \) porque una es totalmente distinta de la otra. Pero, ¿crees que podría ser cierto el segundo resultado?

La duda me viene de la propia definición de longitud de una curva. Para que tenga sentido intuitivamente para mi, dicho resultado debería ser cierto pues, al tomar segmentos de tamaño cada vez más pequeño nos aproximamos a la curva en cuestión y por eso tomamos la definición de longitud como el supremo de todas estas poligonales. Pero claro, igual sin la diferenciabilidad estas aproximaciones no son lo "suficiente buenas" para esto...

[geómetracat]

El segundo resultado con tanta generalidad no lo tengo claro. Parece que tuviera que ser cierto, pero no me acaba de salir, y con curvas continuas y espacios métricos en general pueden pasar muchas cosas raras... Si se me ocurre algo lo pongo por aquí.

[Eparoh]

El segundo resultado con tanta generalidad no lo tengo claro. Parece que tuviera que ser cierto, pero no me acaba de salir, y con curvas continuas y espacios métricos en general pueden pasar muchas cosas raras... Si se me ocurre algo lo pongo por aquí.

Ya, a mi también me parece que debería ser cierto, pero se que con métricas arbitrarias las cosas a veces son muy raras, por eso también preguntaba si igual imponiendo alguna condición más al espacio salía. Pero aún así, tampoco conseguí nada.

A ver si entre todos saliera algo