Para escribir la ecuación de una elipse rotada y trasladada , hace falta transformar las coordenadas por medio una matriz de rotación.
\( 0=\begin{pmatrix}1 \\x-x_0 \\y-y_0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&0 \\0&\dfrac{1}{\gamma^2}&0 \\0&0&\dfrac{1}{\delta^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & x-x_0 &y-y_0\end{pmatrix} \)
que es para una elipse la transformamos en una hiperbola
\( 0=\begin{pmatrix}1 \\x-x_0 \\y-y_0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&0 \\0&\dfrac{1}{\gamma^2}&0 \\0&0&\dfrac{-1}{\delta^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & x-x_0 &y-y_0\end{pmatrix} \)
donde \( (x_0,y_0) \) es la ubicación del centro de la hipérbola , como ese centro esta justo a mitad de distancia entre los focos , se ve claro que se ubica en (1,-1)
como el angulo entre las asintóticas es un recto, el semieje mayor y menor son iguales en modulo, |a|=|b| y sabemos que la distancia entre el centro y un foco es c.
\( c=\sqrt{(4-1)^2+(-4-(-1))^2}=3\sqrt 2 \)
y como \( c^2=a^2+b^2=|a|^2+|a|^2 \) entonces resulta que \( |a|=|b|=3=\gamma=\delta \)
ademas podemos saber cuanto vale \( \theta \) por la inclinación de la recta que une los focos
\( \tan\theta=\dfrac{f1_y-f2_y}{f1_x-f2_x}=\dfrac{4-(-2)}{-4-2}=-1 \)
\( \theta=-45° \)
de donde
\( \sin\theta =\dfrac{-1}{\sqrt2} \)
\( \sin^2\theta =0,5 \)
\( \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2} \)
\( \cos^2\theta=0,5 \)
y \( \sin\theta\cdot\cos\theta=-0.5 \)
la solucion a la ecuación matricial es
\( (x-x_0)^2\left(\dfrac{\cos^2\theta}{\gamma^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{\delta^2}\right)+(y-y_0)^2\left(\dfrac{\sin^2\theta}{\gamma^2}-\dfrac{\cos^2\theta}{\delta^2}\right)+2(x-x_0)(y-y_0)\left(\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\gamma^2}+\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\delta^2}\right) =1 \)
solo hay que reemplazar valores
\( (x-1)^2\left(\dfrac{0.5}{9}-\dfrac{0.5}{9}\right)+(y-(-1))^2\left(\dfrac{0.5}{9}-\dfrac{0.5}{9}\right)+2(x-1)(y-(-1))\left(\dfrac{-0.5}{9}+\dfrac{-0.5}{9}\right) =1 \)
luego resolver términos
\( (x-1)^2\left(\overbrace{0.5-0.5}^0\right)+(y+1)^2\left(\overbrace{0.5-0.5}^0\right)+2(x-1)(y+1)\left(-0.5+(-0.5)\right) =9 \)
\( 2(x-1)(y+1)\left(-1)\right) =9 \)
\( (x-1)(y+1) =-\dfrac{9}{2} \)
y se puede llevar a forma polinómica
\( xy+x-y+\dfrac{7}{2}=0 \)
