Hola
Buenas amigos
Tengo el siguiente problema:
Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)
Es una métrica en \( \mathbb{R} \)
No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),
\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)
De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.
Agradezco de antemano sus aportes.
Lo que se ha demostrar es que la función \( \mu \) es una métrica :
Dado \( f:R\rightarrow{R} \) continua y creciente y
\( \mu:R \ X \ R\rightarrow{[0,\infty)} \)
\( (x,y) \in{R^2}\rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |} \)
Para que sea métrica ha de cumplir tres axiomas :
1) \( \mu(x,y)\geq{0}\wedge \mu(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)
2) \( \mu(x,y)=\mu(y,x) \)
3) \( \mu(x,z)\leq{\mu(x,y)+\mu(y,z)} \)
Le he puesto \( \mu \) por la razón, que únicamente después de averiguar si cumple los axiomas, se podrá en el caso de cumplirlos decir que es una métrica y denominarla \( \mu(x,y)=d_f(x,y) \)
1) axioma
\( \forall{x,y\in{R}}, \ \ \mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |\geq{0} \)
si \( x=y\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(x)}\right |=0} \)
si \( x\neq y \) hay dos alternativas
A)
x>y B)
x<yConsiderando A)
\( x>y\Rightarrow{f(x)-f(y)>0}\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |>0} \)
Averigua para B) y saca conclusiones
Luego para los otros dos axiomas ve el aporte de
Juan Pablo SanchoSaludos
