[donlugones]

Hola comunidad. A continuación les dejo un ejercicio para que ayuden a encontrar el error ya que no puedo llegar al resultado. Gracias.

Encontrar la elipse que posee dos focos \( F_1 \)\( (0,-4) \), \( F_2 \)\( (2,0) \) y un vertice en \( A \)\( (3,-3) \)

Utilizando los ejes cartesianos me di cuenta que la elipse esta rotada y su centro no es el eje de coordenadas, por lo tanto, el ejercicio pide hacer un cambio de base para encontrar la correcta ecuación

Lo primero que hice fue encontrar el centro de la elipse como el punto medio entre los focos

\( O \)\( (1,-2) \)

El segundo paso fue buscar el valor de \( b \) calculando la distancia del origen hasta el vértice A

\( b=\sqrt{5} \)

Como tercer paso calcule el varlor de \( a \) utilizando la formula \( d(A,F_1) + d(A,F_2)=2a \) el resultado obtenido fue \( a=\sqrt{10} \)

Entonces la ecuacion de la elipse haciendo un cambio de variable tiene la forma de \( \dfrac{x^{{\prime\prime}^2}}{10} + \dfrac{y^{{\prime\prime}^2}}{5}=1 \)

Por ultimo buscamos una base ortonormal para realizar el cambio de base. Considere como \( \vec{b}_1=\dfrac{\vec{OA}}{\left\|{OA}\right\|} \) y su versor ortogonal para crear la base.

Realizando el cambio de base de la siguiente manera

\begin{pmatrix}x^{\prime\prime}\\{y^{\prime\prime}}\end{pmatrix} \( = \) \begin{pmatrix}{\dfrac{-2}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{1}{\sqrt[ ]{5}}}\\{\dfrac{-1}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{-2}{\sqrt[ ]{5}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\{y+2}\end{pmatrix}

Una vez hechos los cálculos y reemplazando en la ecuación de la elipse por dichos valores no puedo llegar al resultado. ¿Hay algún error de planteo?

[Luis Fuentes]

Hola

 Hay una forma más fácil de resolverlo: considerar la definición de elipse como lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a los focos es constante.

 En tu caso eso se traduce en:

\( \sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}=cte \)

Para hallar la constante basta imponer que el punto \( A(3,-3) \) pertenece a la cónica y por tanto cumple la ecuación.

 En cuanto a tu método, tengo algo de prisa pero creo que esta matriz está mal:

\( \begin{pmatrix}{\dfrac{-2}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{1}{\sqrt[ ]{5}}}\\{\dfrac{-1}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{-2}{\sqrt[ ]{5}}}\end{pmatrix} \)

 Sería:

\( \begin{pmatrix}{\dfrac{1}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{2}{\sqrt[ ]{5}}}\\{\dfrac{2}{\sqrt[ ]{5}}}&{\dfrac{-1}{\sqrt[ ]{5}}}\end{pmatrix} \)

Saludos.

[donlugones]

Estimado mucha gracias por la respuesta. Entiendo el primer método que usted me presento pero el ejercicio pide hacer un cambio de base. Gracias.

[donlugones]

Hice los cálculos con la matriz corregida y llegue al resultado correcto. ¿Me podrían explicar en que me equivoque?

[Richard R Richard]

otra forma sería

Para escribir la ecuación de una elipse rotada y trasladada , hace falta transformar las coordenadas por medio una matriz de rotación.

\( 0=\begin{pmatrix}1 \\x-x_2 \\y-y_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&0 \\0&\dfrac{1}{\gamma^2}&0 \\0&0&\dfrac{1}{\delta^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&\cos\theta&-\sin\theta \\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & x-x_2 &y-y_2\end{pmatrix} \)

donde \( (x_2,y_2) \) es la ubicación del centro de la elipse  , como ese centro esta justo a mitad de distancia entre los focos  , se ve claro que se ubica en (1,-2)

se puede calcular la longitud del semieje  en este caso el menor  calculando las distancia entre el centro  y el vértice

\( b^2=\delta^2=(1-3)^2+(-2-(-3))^2=5 \)

también sabemos que la distancia entre el centro y los focos es c que sale de \( c^2=(1-2)^2+(-2-0)^2=5 \)

y podemos sacar ahora el semieje mayor

\( a^2=\gamma^2=b^2+c^2=(\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2=10 \)

ademas podemos saber cuanto vale \( \theta \) por la inclinación de la recta que une los focos

\( \tan\theta=\dfrac{f1_y-f2_y}{f1_x-f2_x}=\dfrac{-4-0}{0-2}=2 \)

de donde

\( \sin\theta =0,89442719099991587856366946749251 \)

\( \sin^2\theta =0,8 \)

\( \cos\theta=0,44721359549995793928183473374626 \)

\( \cos^2\theta=0,2 \)

y \( \sin\theta\cdot\cos\theta=0.4 \)

la solucion a la ecuación matricial es

\( (x-x_2)^2\left(\dfrac{\cos^2\theta}{\gamma^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{\delta^2}\right)+(y-y_2)^2\left(\dfrac{\sin^2\theta}{\gamma^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{\delta^2}\right)+2(x-x_2)(y-y_2)\left(\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\gamma^2}-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\delta^2}\right) =1 \)

solo hay que reemplazar valores

\( (x-1)^2\left(\dfrac{0.2}{10}+\dfrac{0.8}{5}\right)+(y-(-2))^2\left(\dfrac{0.8}{10}+\dfrac{0.2}{5}\right)+2(x-1)(y-(-2))\left(\dfrac{0.4}{10}-\dfrac{0.4}{5}\right) =1 \)

solo hay que resolver términos

\( (x-1)^2\left(\dfrac{2}{10}+\dfrac{8}{5}\right)+(y-(-2))^2\left(\dfrac{8}{10}+\dfrac{2}{5}\right)+2(x-1)(y-(-2))\left(\dfrac{4}{10}-\dfrac{4}{5}\right) =10 \)

\( (x-1)^2\left(\dfrac{9}{5}\right)+(y-(-2))^2\left(\dfrac{6}{5}\right)+2(x-1)(y-(-2))\left(-\dfrac{2}{5}\right) =10 \)

\( 9(x-1)^2+6(y+2)^2-4(x-1)(y+2)=50 \)

y se puede llevar a forma polinómica

\( 9x^2+6y^2-4xy-26x+28y-9=0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hice los cálculos con la matriz corregida y llegue al resultado correcto. ¿Me podrían explicar en que me equivoque?

Pues no se como has calculado esa matriz, la que tu pones. Si no lo precisas, no se donde puedes haberte equivocado.

La fórmula de cambio de base es:

\( \begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}+M\begin{pmatrix}x''\\y''\\\end{pmatrix} \) (*)

donde \( (a,b) \) es el centro y la matriz \( M \) es aquella cuyas columnas son respectivamente el vector director del eje focal y el del otro eje (perpendicular al primero) normalizados (de norma \( 1 \).

En tu caso el eje focal si restas los focos tiene la dirección del vector \( (2,4) \). Con eso se construye \( M \).

Nota que si despejas en (*)

\( \begin{pmatrix}x''\\y''\\\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\\\end{pmatrix} \)

pero dado que \( M \) es una matriz ortogonal, \( M^{-1}=M^t \).

Saludos.

[donlugones]

Hola. estoy medio perdido cuando encuentro la matriz.

Utilizo el vector del eje menor que seria el vector formado por el centro de la elpise y el vertice A.
Entonces \( \overrightarrow{b_1}=(\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}},\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{5}}) \), luego un vector ortonormal al vector dicho seria \( \overrightarrow{b_2} \)=\( (\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}},\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}) \) y asi formando la matriz de cambio de base siguiente \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}}&{\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{5}}}\\{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}}}&{\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}}\end{pmatrix} , es es la matriz que encuentro con mis calculas y no puedo llegar al resultado.

Por lo que veo  tu matriz tiene los vectores en diferentes posiciones a los míos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. estoy medio perdido cuando encuentro la matriz.

Utilizo el vector del eje menor que seria el vector formado por el centro de la elpise y el vertice A.
Entonces \( \overrightarrow{b_1}=(\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}},\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{5}}) \), luego un vector ortonormal al vector dicho seria \( \overrightarrow{b_2} \)=\( (\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}},\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}) \) y asi formando la matriz de cambio de base siguiente \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}}&{\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{5}}}\\{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}}}&{\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{5}}}\end{pmatrix} , es es la matriz que encuentro con mis calculas y no puedo llegar al resultado.

Por lo que veo  tu matriz tiene los vectores en diferentes posiciones a los míos.

Es que en primer lugar tienes que colocar el vector director del eje mayor (el eje focal) y en segundo lugar el otro.

Saludos.

[donlugones]

Muchas gracias por la ayuda!