[Juanchoton]

Buenas, hoy estoy complicado con un ejercicio que es aparentemente sobre inducción que no se como encarar genuinamente

No pude encontrar como escribir una multiplicatoria en el foro pero seria tal que asi

Demostrar que:

\( \displaystyle\prod_{k=1}^n\displaystyle\frac{2k-1}{2k} \leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{3n+1}}} \)


Latex corregido por moderador.

[delmar]

Hola

Buenas, hoy estoy complicado con un ejercicio que es aparentemente sobre inducción que no se como encarar genuinamente

No pude encontrar como escribir una multiplicatoria en el foro pero seria tal que asi

Demostrar que:

\( \displaystyle\prod_{k=1}^n\displaystyle\frac{2k-1}{2k} \leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{3n+1}}} \)


Latex corregido por moderador.

Es conveniente que cuides la ortografía y uses mayúscula en el comienzo de una oración.

En efecto conveniente es demostrar por inducción


El método es sencillo se demuestra la validez de la afirmación para n=1 y luego se demuestra que es válida para n+1 suponiendo válida para n

Para n=1

\( \displaystyle\prod_{k=1}^n\displaystyle\frac{2k-1}{2k}=\displaystyle\prod_{k=1}^1\displaystyle\frac{2k-1}{2k}=\displaystyle\frac{2(1)-1}{2(1)}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

\( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3(1)+1}}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

\( \displaystyle\frac{1}{2}\leq{\displaystyle\frac{1}{2}}\Rightarrow{\displaystyle\prod_{k=1}^n\displaystyle\frac{2k-1}{2k}\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+1}}} \ \ si \ n=1} \)

Para n+1

Hay que demostrar \( \displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}\displaystyle\frac{2k-1}{2k}\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3(n+1)+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+4}}}  \) suponiendo el teorema válido para n

Pero :

\( \displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}\displaystyle\frac{2k-1}{2k}=  \ (\displaystyle\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}) \ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k-1}{2k}=(\displaystyle\frac{2n+1}{2n+2}) \ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k-1}{2k} \)

Suponiendo válido el teorema para n se tiene :

\( \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k-1}{2k}\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+1}}}\Rightarrow{(\displaystyle\frac{2n+1}{2n+2}) \ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k-1}{2k}\leq{(\displaystyle\frac{2n+1}{2n+2}) \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+1}}}}  \)


¿Será \( (\displaystyle\frac{2n+1}{2n+2}) \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+1}}\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3n+4}}} \)? En caso afirmativo ¿Qué se puede decir sobre el teorema respecto a si es cierto o falso?


Saludos

[Juanchoton]

Llegué hasta esa parte de la demostración y ahí me quede clavado: probé hacer doble inducción y me bloqueé más aún. Muchísimas gracias de verdad.
Mensaje corregido desde la administración.
Por favor cuida la ortografía.

[Juan Pablo Sancho]

Es lo mismo que probar :\( \displaystyle \dfrac{2n+1}{\sqrt{3n+1}} \leq \dfrac{2n+2}{\sqrt{3n+4}}  \) elevas al cuadrado y hacer cuentas.