[bernardo fisica]

Es decir cual es el cociente de cada uno en forma general.

[Masacroso]

Es decir cual es el cociente de cada uno en forma general.

No entiendo bien a qué te refieres. Una media es un valor referido a un conjunto de valores, siendo la velocidad media un valor referido a un conjunto de velocidades. Por ejemplo, supón que tenemos una lista de datos \( x_1,\ldots,x_n  \), entonces la media (aritmética) de esos valores se suele entender como el número dado por

\( \displaystyle{
\frac{x_1+\ldots+x_n }{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{\sum_{k=1}^{n}1}
} \)

Si el número de datos a mediar es incontable entonces en vez de sumas usamos integrales, por ejemplo si a cada punto \( x\in[a,b] \) le asociamos un valor \( f(x) \) entonces la media de esos valores viene dada por la expresión

\( \displaystyle{
\frac{\int_{a}^b f(x)\,d x}{\int_{a}^b 1\,d x}=\frac{\int_{a}^b f(x)\,d x}{b-a}
} \)

Ahora bien, la expresión anterior tendrá sentido si la función \( f \) anterior es integrable.

Ahora vamos con el caso concreto de las velocidades que tiene un coche en cada punto de un trayecto que se parametriza en función de una variable \( t \), que representa el tiempo, y que toma valores en \( [a,b] \). Entonces si \( v(t) \) es la velocidad del coche en el instante \( t \), entonces la velocidad media del coche sería

\( \displaystyle{
\frac{\int_{a}^b v(t)\,d t}{\int_{a}^b \,d t}=\frac{r(b)-r(a)}{b-a}
} \)

siendo \( r(t) \) la posición del coche en el instante \( t \), ya que la derivada de la posición respecto del tiempo es la velocidad (es decir que \( \frac{d}{d t}r(t)=v(t) \)) y por tanto del teorema fundamental del cálculo tenemos la expresión anterior. No sé si esto haya aclarado tus dudas.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que si el automóvil empieza el recorrido en \( t_0 \) y lo termina en \( t_f \) entonces la velocidad media es :
\( v_m = \dfrac{x(t_f)-x(t_0)}{t_f - t_0}  \) .

La velocidad la tendrás cuando \( \lim_{h \to 0} \dfrac{x(t+h) - x(t)}{h} = \dot{x}(t) = v(t)  \).
La velocidad o velocidad instantanea es un límite de velocidades medias.

[feriva]

Es decir cual es el cociente de cada uno en forma general.

Con “velocidad” sin apellido sospecho que puedes referirte, quizá, a velocidad constante. Y, si es eso, la diferencia está en la aceleración, en que no hay variación en la velocidad, o sea, en que de repente no se pone a correr más o a ir más despacio. En otro caso, el cociente espacio/tiempo sigue siendo lo que es, sólo que hay trozos del recorrido donde se tarda más proporcionalmente que en otros; y con eso el cociente espacio/tiempo no tiene el mismo valor en todos los trozos, no es constante.

Saludos.

[robinlambada]

Es decir cual es el cociente de cada uno en forma general.

Con “velocidad” sin apellido sospecho que puedes referirte, quizá, a velocidad constante. Y, si es eso, la diferencia está en la aceleración, en que no hay variación en la velocidad, o sea, en que de repente no se pone a correr más o a ir más despacio. En otro caso, el cociente espacio/tiempo sigue siendo lo que es, sólo que hay trozos del recorrido donde se tarda más proporcionalmente que en otros; y con eso el cociente espacio/tiempo no tiene el mismo valor en todos los trozos, no es constante.

Saludos.

Entiendo, como el resto, que cuando dice velocidad se refiere a velocidad instantánea ( la derivada de la posición respecto del tiempo), no a velocidad constante.
 feriva ¿has leído las respuestas dadas?

Saludos.

[feriva]

Es decir cual es el cociente de cada uno en forma general.

Con “velocidad” sin apellido sospecho que puedes referirte, quizá, a velocidad constante. Y, si es eso, la diferencia está en la aceleración, en que no hay variación en la velocidad, o sea, en que de repente no se pone a correr más o a ir más despacio. En otro caso, el cociente espacio/tiempo sigue siendo lo que es, sólo que hay trozos del recorrido donde se tarda más proporcionalmente que en otros; y con eso el cociente espacio/tiempo no tiene el mismo valor en todos los trozos, no es constante.

Saludos.

Entiendo, como el resto, que cuando dice velocidad se refiere a velocidad instantánea ( la derivada de la posición respecto del tiempo), no a velocidad constante.
 feriva ¿has leído las respuestas dadas?

Saludos.

Sí, Robin, pero también me parece posible que su duda sea sobre si la velocidad media se formula o no de forma distinta cuando es constante.

Claro que, como dice Masacroso, a mí tampoco me queda clara la pregunta. Soy consciente de que lo que digo es una cosa que he imaginado; después ya matizará Bernardo y sabremos a qué se refiere. Si no es lo que digo, pues nada, no habré acertado con la duda.

Saludos.

[bernardo fisica]

Me refiero dentro de MRU la velocidad media se formula desplazamiento/tiempo y cómo se formularia la velocidad sola dentro del MRU considerando que la velocidad es una magnitud vectorial

Por ejemplo: Una hormiga recorre un trayecto semicircular su velocidad media seria desplazamiento/tiempo pero como hallaría su velocidad sola cual seria su cociente.

nota : sabiendo que rapidez = distancia recorrida/tiempo

[Masacroso]

Me refiero dentro de MRU la velocidad media se formula desplazamiento/tiempo y cómo se formularia la velocidad sola dentro del MRU considerando que la velocidad es una magnitud vectorial

Por ejemplo: Una hormiga recorre un trayecto semicircular su velocidad media seria desplazamiento/tiempo pero como hallaría su velocidad sola cual seria su cociente.

nota : sabiendo que rapidez = distancia recorrida/tiempo

En un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad instantánea y la velocidad media coinciden, ya que la velocidad instantánea es constante durante todo el trayecto, es decir donde \( r'(t) \) no depende del valor de \( t \), siendo \( r(t) \) una parametrización del trayecto respecto del tiempo (es decir, donde \( r(t) \) es la posición de un móvil en el instante \( t \)).

Si consideramos trayectos sobre el plano \( XY \) entonces un MRU siempre tiene la forma \( r(t)=(c_1t+c_2, c_3t+c_4) \) para constantes \( c_1, c_2,c_3,c_4\in \mathbb{R} \). Entonces la imagen de \( r \) es una recta en el plano \( XY \) con velocidad (derivada) constante, ya que \( r'(t)=(c_1,c_3) \). Y si tomas dos instantes cualesquiera \( t_0 \) y \( t_1 \) también encuentras que

\( \displaystyle{
v_m=\frac{r(t_1)-r(t_0)}{t_1-t_0}=(c_1,c_3)
} \)

Es decir, el vector resultante de la velocidad media entre los instantes \( t_0 \) y \( t_1 \) coincide con la velocidad instantánea. Por eso se le denomina movimiento rectilíneo y uniforme, el uniforme viene de que \( r'(t) \) es constante, es decir, que su valor no depende de \( t \).

Por otra parte la velocidad instantánea en una trayectoria semicircular no sería nunca constante, ya que si fuese así entonces sería un MRU cuya imagen es una línea recta, no un medio círculo. Por ejemplo, una trayectoria semicircular (con forma de medio círculo) en el plano \( XY \) siempre tiene una parametrización de la forma \( r(t)=(a+r\cos (t+c),b+r\operatorname{sen}(t+c)) \) donde \( t\in[0,\pi] \), \( r \) es una constante positiva y \( a,b,c\in \mathbb{R} \) son otras constantes. Por simplicidad, si \( r=1 \) y \( a=b=c=0 \) entonces el vector de velocidad instantáneo en el punto \( t \) sería \( r'(t)=(-\operatorname{sen}t,\cos t) \), el cual no es constante ya que su valor depende de \( t \). Y la velocidad media entre \( t_0=0 \) y \( t_1=\pi \) sería

\( \displaystyle{
v_m=\frac{r(\pi)-r(0)}{\pi-0}=\frac1{\pi}((-1,0)-(1,0))=(-2/\pi,0)
} \)

[feriva]

Me refiero dentro de MRU la velocidad media se formula desplazamiento/tiempo y cómo se formularia la velocidad sola dentro del MRU considerando que la velocidad es una magnitud vectorial

Por ejemplo: Una hormiga recorre un trayecto semicircular su velocidad media seria desplazamiento/tiempo pero como hallaría su velocidad sola cual seria su cociente.

nota : sabiendo que rapidez = distancia recorrida/tiempo

Ah, entonces no acerté, porque si la trayectoria no es recta existe aceleración.

Ya está estupendamente explicado por Masacroso. Por añadir algo, el “apellido” de las velocidades que mencionas es “lineal”, porque diciendo “velocidad” a secas, en el ejemplo que pones, podríamos considerar también la velocidad angular.

Ahora que miro, quizá la duda podría estar también aquí.

cómo se formularia la velocidad sola dentro del MRU considerando que la velocidad es una magnitud vectorial

Con un dibujo



La longitud de las dos líneas es la misma, el recorrido entre los puntos es el mismo, pero el desplazamiento (que es la distancia en línea recta de punto a punto) se acorta en la curva. Por tanto, si el móvil emplea el mismo tiempo en hacer el recorrido en las dos líneas, se desplaza menos al recorrer la curva y esto hace que la velocidad referida al desplazamiento sea distinta que referida al recorrido; debido a que el módulo de los vectores que unen los puntos tienen distinto valor. Sin embargo, la velocidad lineal no es la referida al desplazamiento, por muy magnitud vectorial que sea, la velocidad lineal es recorrido/tiempo, no desplazamiento/tiempo. Y esto es independiente de la forma que tenga el recorrido; la fórmula de la velocidad cambiará dependiendo de la función de la curva que nos dé el recorrido en cierto intervalo. Entonces, no hay una una fórmula demasiado general, lo más general es decir que es el cociente entre un recorrido orientado y el tiempo que tarda en ser cubierto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Por ejemplo: Una hormiga recorre un trayecto semicircular su velocidad media seria desplazamiento/tiempo pero como hallaría su velocidad sola cual seria su cociente.

nota : sabiendo que rapidez = distancia recorrida/tiempo

Hola un semicírculo no es una recta por eso no es un MRU sino un MCU.

No puedes hablar de velocidad por si sola, si la tomas como una magnitud vectorial, ya te han explicado como es la velocidad media entre dos puntos

\( \overline {\vec v}=\dfrac{\vec x_f-\vec x_i}{t_f-t_i} \)

pero la otra que parece quieres saber se llama velocidad instantánea, y es la velocidad del móvil en un punto del sistema, tambien es una magnitud vectorial y se la define como

\( \vec v_{(t_0)} =\dfrac{\partial \vec x_{(t_0)}}{\partial t}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\vec x_{(t_0+h)}-\vec x_{(t_0)}}{h} \)

En un trayecto semicircular, la velocidad instantánea puede mantener constante su módulo, pero variar la direccion y sentido de sus componentes en un sistema de referencia cartesiano como ya te dieron un ejemplo en el cual la velocidad angular puede o no ser constante( si es constante entonces es un movimiento circular uniforme o MCU).

Hagamos el ejemplo sencillo en  que  la velocidad angular es constante , es decir la hormiga recorre arcos iguales en tiempos iguales.

Cuando te hablan de parametrizar la curva , se refieren a escribir funciones matemáticas que den por resultado cada coordenada  espacial en  función de la variable tiempo.

Si la velocidad angular la defines como  \( \omega=\dfrac{\theta_f-\theta_i}{t_f-t_i} \)  que para el semicirculo partiendo de angulo 0 y tiempo cero nos queda

\( \omega=\dfrac{\pi-0}{t_f-0}=\dfrac{\pi}{t_f} \)

entonces puedes escribir la posición de la hormiga en función del tiempo

\( \vec r_{(t)}=(x_{(t)},y_{(t)})=(\rho\cos(\omega t),\rho\sin(\omega t)) \)

donde \( \rho \) es el radio de la semicircunferencia

luego sacas la velocidad media como el desplazamiento sobre el tiempo

\( \overline{\vec v_{(t)}}=(\dfrac{\rho\cos(\omega t)-\rho\cos(\omega 0)}{t-0},\dfrac{\rho\sin(\omega t-\rho\sin(\omega 0)}{t-0}) \)

\( \overline{\vec v_{(t)}}=(\dfrac{\rho\cos\left(\dfrac{\pi t}{t_f}\right)-\rho}{t},\dfrac{\rho\sin\left(\dfrac{\pi t}{t_f}\right)}{t}) \)

pero la velocidad instantánea será

\( \vec v=\dfrac{\partial \vec r_{(t)}}{\partial t}=(-\rho\omega\sin(\omega t),\rho\omega\cos(\omega t)) \)

lo que debes conocer es que el modelo de la velocidad instantánea es igual al producto del módulo del vector radial por el modulo de la velocidad angular, solo en el MCU

\( |v|=|\rho|\cdot|\omega| \)

de modo que puedes escribir

\( \vec v=|v|(-\sin(\omega t),\cos(\omega t)) \)

para saber cual es la velocidad instantánea  en cualquier instante t solo reemplaza valores

si miras la definición de rapidez instantánea, no es lo que has escrito sino  que  es el modulo de la velocidad instantánea es decir \( |v| \)

Saludos