[Juanchoton]

siendo z un numero complejo como solucionarian
\( z^4 + 3z^2 =−9 \)
osea se que tengo que llegar a una forma de calcular raices enesimas? entiendo que puedo reeemplazar \( z^2 \)  por un w para tener una cuadratica pero no se como esas soluciones particulares se acomodarian luego a los complejos
muchas gracias saludos

[Richard R Richard]

Resuelve la cuadrática y halla los 2 valores de w que la verifican

cada uno es \( z^2 \) ,  puedes usar la formula de De Moivre para hallar la raíz  cuadrada y calcula todos los valores  z posibles.
o guiate por https://fernandorevilla.es/2015/02/07/raiz-cuadrada-de-un-numero-complejo/

Spoiler

resulta
\( w =3(\cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3}) \)
para la raiz cuadrada \( n=2 \) la formula general

\( z^{\frac 1n}=[r(\cos x+i \sin x)]^{\frac 1n}=
 r^{\frac 1n} \left[ \cos \left(
 \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )+i \sin
 \left( \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )\right ] \)
con  \( k\in\mathbb{N} \mapsto 0\leqslant k
 \leqslant n-1 \)

 \( Z_{1-2}=\sqrt3(\cos\frac{\pi}{6}\pm i\sin\frac{\pi}{6}) \)

\( Z_{1-2}=\sqrt3(\frac{\sqrt3}{2}\pm i\frac{1}{2})=3\pm i\frac{\sqrt3}{2}  \)

\( \boxed{z_1=3+ i\frac{\sqrt3}{2}} \)

\( \boxed{z_2=3- i\frac{\sqrt3}{2}} \)

\( Z_{3-4}=\sqrt3(\cos\frac{7\pi}{6}\pm i\sin\frac{7\pi}{6}) \)

\( Z_{3-4}=\sqrt3(-\frac{\sqrt3}{2}\mp i\frac{\sqrt3}{2}) \)

\( \boxed{z_3=-3- i\frac{\sqrt3}{2}} \)

\( \boxed{z_4=-3+ i\frac{\sqrt3}{2}} \)

 

[cerrar]

Saludos

[ingmarov]

Hola

siendo z un numero complejo como solucionarian
\( z^4 + 3z^2 =−9 \)
osea se que tengo que llegar a una forma de calcular raices enesimas? entiendo que puedo reeemplazar \( z^2 \)  por un w para tener una cuadratica pero no se como esas soluciones particulares se acomodarian luego a los complejos
muchas gracias saludos

A ver, sumamos a ambos lados \( \dfrac{9}{4} \)

\( z^4 + 3z^2+\dfrac{9}{4} =−9+\dfrac{9}{4} \)

\( (z^2 +\dfrac{3}{2} )^2=−\dfrac{27}{4} \)

\( z^2 +\dfrac{3}{2} =\pm\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i \)

Allí lo dejo


Saludos

[Juanchoton]

Muchas gracias, especialmente lo de completar cuadrados me sirvió bastante. Saludos.