[Juanchoton]

Buenas, no se como  Probar que para todo \( z \in \mathbb{C} \) y \( n \in \mathbb{N} \), se cumple que \( \overline{z}^n = \overline{z^n} \) y \( |z^n| = |z|^n \)
Probé inducción al binomio de Newton pero se me hizo un poco un infierno.

Muchas gracias, saludos

Latex corregido por moderador

[ingmarov]

Hola Juanchoton

buenas, no se como  Probar que para todo \( z \in \mathbb{C} \) y \( n \in \mathbb{N} \), se cumple que \( \overline{z}^n = \overline{z^n} \) y \( |z^n| = |z|^n \)
 probe induccion al binomioi de newton pero se me hizo un poco un infierno.

muchas gracias, saludos

Latex corregido por moderador

Creo que si utilizas la forma exponencial del complejo z será más fácil resolver.

\[ z=\rho\cdot e^{i\cdot \theta} \]

donde \[ \rho=|z| \]      y      \[ \theta=Arg(z) \]



Saludos

[Richard R Richard]

Creo que llego tarde...  ya hay una publicación , pero ya lo he escrito así que lo dejo pues va en linea con lo que indicaba ingmarov

\( \overline{z}^n = \overline{z^n} \) y \( |z^n| = |z|^n \)
si \( z=r e^{i\theta} \)

y \( \overline {z}=r e^{(-1)i\theta} \)
si \( \overline {z}^n=(r^n e^{-i\theta})^n=r^n e^{-in\theta} \)
si \( z^n=r^n (e^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta} \)
entonces


\( \overline{z^n}=r^n e^{((-1)in\theta)}=r^n e^{-in\theta}\equiv\overline {z}^n \)   cqd

y \( |z^n| = |z|^n \)

si \( z=a+bi=re^{i\theta} \)

ademas \( |z|=z\cdot \overline {z}=\sqrt{a^2+b^2} \)

como 

\( |e^{i\theta}|=(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \theta-i\sin \theta)=1  \) ademas

\( |e^{in\theta}|=(\cos n\theta+i\sin n\theta)(\cos n\theta-i\sin n\theta)=1 \,\forall n\in\mathbb N \)

vemos que

\( |z|=r \)

entonces

\( |z^n|=|r^n||e^{in\theta}|=r^n 1=r^n=|z|^n \)  cqd