[Juanchoton]

Una duda para mis finales:

Si \( (a,m) = 1 \) si solo si existe un \( b \) tal que \( b=a^{-1} \bmod m \). Osea, \( a \) es inversible.
El problema es demostrar que \( a \) tiene inverso multiplicativo en \( \mathbb{Z}_m \).

Muchas gracias, saludos.

\( \LaTeX \) y ortografía corregida por la moderación.

[Masacroso]

Una duda para mis finales:

Si \( (a,m) = 1 \) si solo si existe un \( b \) tal que \( b=a^{-1} \bmod m \). Osea, \( a \) es inversible.
El problema es demostrar que \( a \) tiene inverso multiplicativo en \( \mathbb{Z}_m \).

Muchas gracias, saludos.

No entiendo tu pregunta. Efectivamente si \( b=a^{-1}\bmod m \) entonces la clase de equivalencia de \( a \) tiene inverso multiplicativo en \( \mathbb{Z}_m \), que sería la clase de equivalencia de \( b \).

[geómetracat]

Supongo que de lo que se trata es de probar que un elemento \[ a  \] tiene inversa módulo \[ m \] si y solo si \[ (a,m)=1 \].

De izquierda a derecha, si tiene inversa tienes que existen enteros \[ b,k \] tales que \[ ab=1+km \], es decir \[ ab-km=1 \]. De aquí se sigue que \[ (a,m)=1 \], pues si tienes que \[ d|a, d|m \] también debes tener que \[ d | ab-km=1 \], luego \[ d=1 \].

De derecha a izquierda, supón que \[ (a,m)=1 \]. Entonces la identidad de Bézout te da que existen dos enteros \[ b,k \] tales que \[ ab+mk=1 \]. Tomando congruencias módulo \[ m \] se sigue el resultado.

[Juanchoton]

Bien muchísimas gracias por la ayuda

En la primera parte, de izquierda a derecha, podría decirse que como \( a \) y \( m \) tienen una combinación lineal igual a uno entonces son coprimos no es cierto?

[geómetracat]

En la primera parte, de izquierda a derecha, podría decirse que como a y m tienen una combinación lineal igual a uno entonces son coprimos no es cierto?

Sí.