[Toi]

Buen dia a todos. No puedo resolver el siguiente ejercicio y me vendria muy bien ayuda:


Indique si la siguiente proposición es Verdadera o Falsa, justificando la respuesta:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{0}}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x²)}}{1-cos(x)} =\displaystyle\frac{1}{2}  \)

En las consignas del ejercicio indica que no se puede resolver por L'Hopital (aunque probe hacerlo y se me van al carajo las derivadas). Tambien intente multiplicarlo por el conjugado del denominador quedando:

\(   \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x²)}}{1-cos(x)} * \displaystyle\frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x²)}*(1+cos(x))}{1-cos^2(x)}   \)   

Siendo el denominador equivalente a  \(   sen^2(x)    \) Pero luego de eso no se como continuar el ejercicio. Y tampoco se si eso haya sido un paso util en algo.

[delmar]

Hola

Me parece bien hasta donde has avanzado, divide numerador y denominador por \( x^2 \) en ese caso se tiene  \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}}{\displaystyle\frac{sen^2x}{x^2}} \)

Pero \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) y  \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}} \) se puede conocer saca conclusiones



Saludos

[Toi]

Hola

Me parece bien hasta donde has avanzado, divide numerador y denominador por \( x^2 \) en ese caso se tiene  \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}}{\displaystyle\frac{sen^2x}{x^2}} \)

Pero \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) y  \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}} \) se puede conocer saca conclusiones



Saludos

Discupa la molestia pero como decis puedo conocer \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}} \) No se me ocurre como hacerlo

[Juan Pablo Sancho]

Parecido:
\( 1-\cos(x^2) = (1-\cos(x^2)) \cdot \dfrac{1+\cos(x^2)}{1+\cos(x^2)} = \dfrac{1-\cos^2(x^2)}{1+\cos(x^2)} = \dfrac{\sen^2(x^2)}{1+\cos(x^2)}  \)

Luego \( \sqrt{1-\cos(x^2)} = \dfrac{\sen(x^2)}{\sqrt{1+\cos(x^2)}} \)

LLegaste a \( \dfrac{\sqrt{1-\cos(x^2)} \cdot (1+\cos(x))}{1-\cos^2(x)} = \dfrac{\sqrt{1-\cos(x^2)} \cdot (1+\cos(x))}{\sen^2(x)} = \dfrac{\sen(x^2)}{\sen^2(x)} \cdot \dfrac{1+\cos(x)}{\sqrt{1+\cos(x^2)}}  \)

El límite debería darte \( \sqrt{2} \)

[Abdulai]

Aplicando la identidad   \( 1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2) \)  y el límite notable   \( \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1 \)

\(  \displaystyle\lim_{x \to{0}}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x²)}}{1-cos(x)} =
\frac{\sqrt 2}{2}\dfrac{|\sin(x^2/2)|}{\sin^2(x/2)}= 
\frac{\sqrt 2}{2} \underbrace{\left|\dfrac{\sin(x^2/2)}{x^2/2}\right|}_{\text{lim =}1}
\underbrace{\left( \dfrac{(x/2)}{sin(x/2)} \right)^2 }_{\text{lim =}1}  \dfrac{\cancel{x^2}/2}{(\cancel{x}/2)^2} \)

El límite resulta \( \sqrt 2 \)

[delmar]

Hola

Me parece bien hasta donde has avanzado, divide numerador y denominador por \( x^2 \) en ese caso se tiene  \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}}{\displaystyle\frac{sen^2x}{x^2}} \)

Pero \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{sen x}{x}}=1 \) y  \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}} \) se puede conocer saca conclusiones



Saludos

Discupa la molestia pero como decis puedo conocer \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos \ x^2}(1+cos x)}{x^2}} \) No se me ocurre como hacerlo

Sencillamente multiplicar numerador y denominador por \( \sqrt[ ]{1+cos \ x^2} \) queda de esta manera :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos^2 \ x^2}(1+cos x)}{x^2 \ \sqrt[ ]{1+cos \ x^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{sen \ x^2}\right |(1+ cos \ x)}{x^2 \ \sqrt[ ]{1+cos \ x^2}}}=\sqrt[ ]{2} \)

Se suele dar respuestas equivocadas inclusive en solucionarios

Saludos