[Juanchoton]

Tengo un problema de divisibilidad que no se cómo encarar todavía, su ayuda me aportaría mucho

Sea \( a \in  \mathbb{Z}  \) , \( a > 1 \) y sean \( n, m \in \mathbb{N} \). Probar que \( (a^n − 1, a^m − 1) = a^{(n,m)} − 1 \)

Estoy viendo congruencias igual pero en teoría hay que resolver el ejercicio sin utilizarlas, solo con divisibilidad.
Muchas gracias, saludos.
Latex corregido por moderador

[Juan Pablo Sancho]

Si \( n = m \) lo tienes.
Si \( n > m \)
Tenemos \( n = d \cdot n'  \) y \(  m = d \cdot m'  \) con \(  (n,m) = d \)
\( (a^n - 1 , a^m -1) = (a^{d \cdot n'}-1 , a^{d \cdot m'} - 1) = ((a^d)^{n'} - 1 , (a^d)^{m'}-1) = ((a^d - 1) \cdot C , (a^d-1) \cdot M) \)
Con \(  C = \displaystyle \sum_{i=0}^{n'-1} (a^d)^i  \) y \( M = \displaystyle \sum_{i=0}^{m'-1} (a^d)^i  \)
Queda probar que \( (C,M)=1 \).
Pero \( C = M + \displaystyle \sum_{i=m'}^{n'} (a^d)^i  \).
\( M = \dot{a} + 1  \) y  \( \displaystyle \sum_{i=m'}^{n'} (a^d)^i = \dot{a} \).

Editado

Se podría hacer usando el algoritmo de la división.
Si \( n > m  \) tenemos \(  n = m \cdot q_1 + r_1  \) entonces:
\( a^n - 1 = a^{m \cdot q_1 + r_1} - a^{r_1} + a^{r_1} - 1 = a^{r_1} \cdot ((a^{m})^{q_1} - 1) + a^{r_1} - 1  \)
Con:
\( (a^{m})^{q_1} - 1 = (a^m - 1) \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^{q_1-1} (a^m)^i  \).
Después con \( (a^{r_1} - 1 , a^m - 1)  \) vamos el algoritmo de la división.

[Juanchoton]

Estoy intentando entender, en la segunda demostración, como es que se implementa la sumatoria, ya que en un principio es algo que está multiplicando por \( a \). Al menos eso es lo que entiendo yo y luego se sale de la suma que tiene con -1. Muchas gracias de todas maneras, saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

[Juan Pablo Sancho]

Cuida la ortografía
Tenemos:
\( (a^n - 1 , a^m - 1) =  (a^{r_1} \cdot ((a^{m})^{q_1} - 1) + a^{r_1} - 1  , a^m-1) = (a^{r_1} \cdot (a^m - 1) \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^{q_1-1} (a^m)^i + a^{r_1}-1 , a^m-1)  \)
Sea \( d = (a^n-1,a^m-1)  \) entonces \( d|a^m-1 \) luego \( d|a^{r_1} - 1 \) nos queda:
\( (a^n - 1 , a^m -1) = (a^{r_1} - 1 , a^m - 1)  \) y seguimos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy intentando entender, en la segunda demostración, como es que se implementa la sumatoria, ya que en un principio es algo que está multiplicando por \( a \). Al menos eso es lo que entiendo yo y luego se sale de la suma que tiene con -1. Muchas gracias de todas maneras, saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

Por ampliar lo dicho por Juan Pablo, está usando que:

\( (x^n-1)=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x^2+x+1) \)

Saludos.