[Xtimmler]

Hola foro tengo el siguiente problema:

Considere un capacitor de placas circulares paralelas con carga inicial
expresada como \(  +/- σ \) respectivamente, que es conectado a una resistencia
\( “R” \) mediante la llave \( “S” \) en \(  t= 0s \) a dentro del espacio comprendido entre
las placas. La distancia de separación de las placas y demás dimensiones son
dadas en la figura adjunta. Pueden despreciarse efectos de bordes.



Pide calcular la función de la corriente respecto al tiempo y el campo magnético en los puntos p1 y p2.

Yo primero pense:

La diferencia de potencial entre dos placas es: \( ΔV=\displaystyle\frac{σ}{ε _{0}}d \)
y la de una resistencia\( ΔV=IR \)
eso al momento de conectarlo debería coincidir ¿no?

Entonces \( \displaystyle\frac{σ}{ε _{0}}d=IR \)

\( I=\displaystyle\frac{σ}{ε _{0}R}d \)

Pero el problema es que esa corriente no varía en el tiempo y me pareció un resultado demasiado fácil.

¿Lo interpreté bien al problema?

[Richard R Richard]

Claro no es tan simple.
El potencial varía con la carga que le queda al capacitor. La carga que se va del capacitor por unidad de tiempo,  es la corriente que circula por la resistencia.


Te animas a plantear la ecuación diferencial  que rige el sistema.?

[Xtimmler]

Claro no es tan simple.
El potencial varía con la carga que le queda al capacitor. La carga que se va del capacitor por unidad de tiempo,  es la corriente que circula por la resistencia.


Te animas a plantear la ecuación diferencial  que rige el sistema.?

¿Algo asi decis?:

\( \displaystyle\frac{dQ(t)}{dt}=\displaystyle\frac{Q(t)}{Aε _{0}R}d \)

con \( A= \)área de las placas.

No sé bien resolver Ecuaciones diferenciales, es un tema que en la carrera que estoy se ve poco.

[Richard R Richard]

Muy cerca , solo hay un detalle , los cambios en la carga por unidad de tiempo tienen signo contrario a la carga acumulada.


Luego se resuelve la ED teniendo en cuenta las condiciones iniciales Qo a tiempo cero y Carga cero a tiempo infinito.


La variación de carga por unidad de tiempo es la corriente y el campo magnético responde a esa variación proporcionalmente.

[Xtimmler]

Muy cerca , solo hay un detalle , los cambios en la carga por unidad de tiempo tienen signo contrario a la carga acumulada.


Luego se resuelve la ED teniendo en cuenta las condiciones iniciales Qo a tiempo cero y Carga cero a tiempo infinito.


La variación de carga por unidad de tiempo es la corriente y el campo magnético responde a esa variación proporcionalmente.

Bien creo que tengo una soluciona partir de lo que vi de la teoría.

\( IR+\displaystyle\frac{Q(t)}{C}=0 \)

\( IR=\displaystyle\frac{-Q(t)}{C} \)

\( I=\displaystyle\frac{-Q(t)}{RC} \)

\( \displaystyle\frac{dQ(t)}{dt}=\displaystyle\frac{-Q(t)}{RC} \)

Resolviendo la ecuación diferencial

\( Q(t)=e^{-t/RC} \)

ahora el tema es la constante que como dijiste seria \( Q_0 \)
yo no sé bien de ecuaciones diferenciales es más me parece raro que nos tomen esto porque las pocas ecuaciones diferenciales que hicimos en física ellos simplemente nos mostraban el resultado sin mostrar el procedimiento

\( Q(t)=Q_0e^{-t/RC} \)

Él \( Q_0 \) lo pongo ahí multiplicando porque creo que es el lugar donde más sentido tiene gráficamente.

y derivando me quedaría la corriente:

\( I(t)=\displaystyle\frac{-Q_0}{RC}e^{-t/RC}
 \)

y esta función ya no tiene sentido gráficamente.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola las soluciones de las  ecuaciones diferenciales cobran cuando evalúas las integrales en las correctas condiciones de contorno.

\( \displaystyle\frac{dQ(t)}{dt}=\displaystyle\frac{-Q(t)}{RC} \)

\( \displaystyle \int_{Qo}^Q\frac{dQ}{Q}=\displaystyle\int_{to}^t\frac{-dt}{RC} \)

\( \displaystyle Ln \frac{Q(t)}{Qo}=-\displaystyle\frac{t-to}{RC} \)

Con \( to =0 \)

\(  \dfrac{Q(t)}{Qo}=\displaystyle e^{\frac{-t}{RC}} \)

\(  Q(t)=\displaystyle Qo e^{\frac{-t}{RC}} \)

Del mismo modo la corriente queda

\( Io=\dfrac{Vo}{R}=\dfrac{Qo}{RC} \)

\(  I(t)=\displaystyle Io e^{\frac{-t}{RC}} \)

De acuerdo a la teoría se requiere un tiempo infinito para descargar el capacitor.

[Xtimmler]

Hola las soluciones de las  ecuaciones diferenciales cobran cuando evalúas las integrales en las correctas condiciones de contorno.

\( \displaystyle\frac{dQ(t)}{dt}=\displaystyle\frac{-Q(t)}{RC} \)

\( \displaystyle \int_{Qo}^Q\frac{dQ}{Q}=\displaystyle\int_{to}^t\frac{-dt}{RC} \)

\( \displaystyle Ln \frac{Q(t)}{Qo}=-\displaystyle\frac{t-to}{RC} \)

Con \( to =0 \)

\(  \dfrac{Q(t)}{Qo}=\displaystyle e^{\frac{-t}{RC}} \)

\(  Q(t)=\displaystyle Qo e^{\frac{-t}{RC}} \)

Del mismo modo la corriente queda

\( Io=\dfrac{Vo}{R}=\dfrac{Qo}{RC} \)

\(  I(t)=\displaystyle Io e^{\frac{-t}{RC}} \)

De acuerdo a la teoría se requiere un tiempo infinito para descargar el capacitor.

Muchas gracias ahora todo tiene sentido.