[Juanchoton]

Buenas quería consultar un ejercicio y la resolución que le di

Tengo que calcular todos los subconjuntos de \( A \), dónde \( A \) es

\( A=\{0,1,2,...,9\} \) tal que el subconjunto tenga al menos un impar

Mi resolución es \( 2^{10} - 2^5 \)

Dónde \( 2^5 \) es la cantidad de subconjuntos de \( A \) formado solamente por pares

Mi gran duda es que el conjunto \( \emptyset \subset{2^5} \)

Entonces si agregara más restricciones similares estaría eliminando varias veces el conjunto vacío lo cual sería erróneo.

¿O tendría que eliminar el conjunto vacío con principio de complemento?

Muchas dudas, lo sé, saludos y muchas gracias de antemano.
Mensaje corregido desde la administración.

[martiniano]

Hola.

No estoy seguro de que esto responda a tu duda. Pero el conjunto vacío es un subconjunto de \[ A \] que no tiene ningún número impar, por eso lo restas junto a todos los formados sólo por pares.

Entonces si agregara más restricciones similares estaría eliminando varias veces el conjunto vacío lo cual sería erróneo.

¿A qué te refieres con esta última frase exactamente? ¿Podrías poner un ejemplo de restricción similar?

Un saludo.

[Juanchoton]

A qué si quisiera calcular el ejercicio además quitando, por ejemplo todos los cjtos que se pueden formar con {2,4,6} entonces me los quitaría tratando P{2,4,6} pero esto además me restaría otra vez el cjto vacio pertene al conjunto Partes de A

[Luis Fuentes]

Hola

A qué si quisiera calcular el ejercicio además quitando, por ejemplo todos los conjuntos que se pueden formar con {2,4,6} entonces me los quitaría tratando P{2,4,6} pero esto además me restaría otra vez el conjunto vacio pertene al conjunto Partes de A

Es que no queda claro a que te refieres. Si calculas los conjuntos que tienen al menos un impar, estás quitando todos los posibles subconjuntos formados por pares; en particular estás quitando todos los subconjuntos de \( \{2,4,6\} \). Entonces no tiene sentido que se los vuelvas a quitar; ni el vacío ni ninguno. Pero no se si querías decir eso.

Si lo que planteas es un enunciado alternativo al propuesto, donde ves algún problema con este tipo de razonamientos, di EXACTAMENTE a qué enunciado te refieres.

Saludos.

[Richard R Richard]

Tengo que calcular todos los subconjuntos de \( A \), dónde \( A \) es

\( A=\{0,1,2,...,9\} \) tal que el subconjunto tenga al menos un impar

Cada conjunto de pares puede combinarse con conjuntos que tengan al menos un impar

El conjunto de los pares puede incluir el vacío  pero el de los impares no.

Hay 5 conjuntos con 1 impar
Hay 10 con 2 impares
10 con 3
5 con 4
1 con 5

Total 31 formas de tener impares

Los pares incluyendo al vacío  del mismo modo se llega a qué son 32 formas.

En total hay \( 31\cdot32= 992 \) conjuntos posibles...

Es obviamente sin repetición  y sin importar el orden.

[Luis Fuentes]

Hola

Los pares incluyendo al vacío  del mismo modo se llega a qué son 32 formas.

En total hay \( 31\cdot32= 992 \) conjuntos posibles...

Tan sólo resaltar que es equivalente a lo propuesto por el propio Juanchoto (ambas cosas correctas):

Mi resolución es \( 2^{10} - 2^5 \)

Dónde \( 2^5 \) es la cantidad de subconjuntos de \( A \) formado solamente por pares

\( 2^{10}-2^{5}=2^5(2^5-1)=32\cdot 31 \)

La cosa es que Juanchoton plantea una duda en todo esto y no acabo de entender cuál es.

Saludos.

[feriva]

Buenas quería consultar un ejercicio y la resolución que le di

Tengo que calcular todos los subconjuntos de \( A \), dónde \( A \) es

\( A=\{0,1,2,...,9\} \) tal que el subconjunto tenga al menos un impar

Mi resolución es \( 2^{10} - 2^5 \)

Dónde \( 2^5 \) es la cantidad de subconjuntos de \( A \) formado solamente por pares

Mi gran duda es que el conjunto \( \emptyset \subset{2^5} \)

Creo que sé lo que te pasa (si me equivoco me perdonas, sólo es por si te sirve para explicarte mejor y que te puedan ayudar también mejor).

Pienso que estás mezclando la cantidad de conjuntos contenidos (que es lo que cuenta en el problema) con el cardinal de elementos del conjunto unión de esos subconjuntos, que no es lo mismo.

Con un ejemplo, ligeramente distinto, pero más sencillo.

Si por caso tenemos \( A\equiv\{1,2\}
  \) y nos piden los subconjuntos que no tengan ningún par, pues encontramos estos dos, \( \{\}
  \) y \( \{1\}
  \). Son dos, pero el conjunto unión es \( \{\}\cup\{1\}=\{1\}
  \), tiene cardinal 1, es distinto de \( \{\{\}\}\cup\{1\}=\{1,\{\}\}
  \).

Saludos.

[Richard R Richard]

Tan sólo resaltar que es equivalente a lo propuesto por el propio Juanchoton (ambas cosas correctas):

Si , solo he dado mi solución a pedal,  he tardado en recapacitar porque era \( 2^n \) pero lo he visto por inducción o mas bien prueba y error , cada elemento adicional a un conjunto genera exactamente la misma cantidad de conjuntos que había previamente incluyendo el vacío  con 10 elementos hay \( 2^{10} \) conjuntos, y el de los pares sin impares será \( 2^{5} \) restando uno de otro donde se incluye el conjunto vacío que no es solución se llega a los 992 .. un lujo aprender otra forma no a pedal.

[filomates]

Ya te han contestado que resolviste el problema perfectamente, e incluso un compañero te dió un metodo diferente para llegar a la respuesta, que también era correcto y que daba el mismo resultado.
Sin embargo,planteas una duda en la siguiente frase:
Entonces si agregara más restricciones similares estaría eliminando varias veces el conjunto vacío lo cual sería erróneo..
A ver si te lo puedo aclarar.
La situación que tendrías sería la siguiente:
Nº de conjuntos que me piden = Total de conjuntos que hay - Nº de conjuntos que no cumplen la restricción 1  - Nº de conjuntos que no cumplen la restricción 2
Y lo que dices es que entre los que no cumplen la restricción 1 estaría el vacío y entre los que no cumplen la restricción 2 también, con lo cual habrías quitado el vacío dos veces.
Claro, pero es que NO SÓLO has quitado el vacío dos veces, has quitado dos veces los que no cumplen las dos restricciones a la vez, simultáneamente.
Por tanto HAY QUE AÑADIR todos los conjuntos que NO CUMPLEN A LA VEZ LAS DOS RESTRICCIONES, enttre ellos el vacío.
La "fórmula" entonces sería:
Nº de conjuntos que me piden = Nº total de conjuntos - Nº de conjuntos que no cumplen la restricción 1  - Nº de conjuntos que no cumplen la restricción 2  + Nº de conjuntos que no cumplen a la vez la restricción1 y la restricción 2
A ver si modifico un poco tu problema para que sirva de ejemplo a esto.
El enunciado sría el siguiente:
Tengo que calcular todos los subconjuntos de A, dónde A es  A={0,1,2,...,9} tal que el subconjunto tenga o bien al menos un número par (múltiplo de 2) o bien al menos un múltiplo de 3
Entonces deberíamos poner: Todos los subconjuntos de A - Todos los impares - Todos los que no contienen múltiplos de 3 +Todos los que hemos quitado dos veces.
Los subconjuntos formados por impares son todos los que se pueden formar con \(  \{1,3,5,7,9 \}  \) que son \(  2^5 \), los subconjuntos que no contienen múltiplos de 3 son los formados por \(  \{0,1,2,4,5,7,8\}  \) que son  \(  2^7 \), y los que hemos quitado dos veces son los formados por \( \{1,5,7\} \) que son \(  2^3  \)
Es decir \(  2^{10} - 2^5 - 2^7 + 2^3  \)
Fíjate que has quitado dos veces el vacío, pero lo has añadido otra vez, al igual que otros cuantos subconjuntos,que también hemos quitado dos veces, como \(  \{1,5\} \textrm{ó} \{7\}  \) y así hasta ocho subconjuntos
Estas ideas, cuando estudies teoría de conjuntos, te llevarán a la fórmula (donde \(  Card(A) \textrm{significa "cardinal de A, es decir, número de elementos del conjunto A} \) ) siguiente:
\(  Card(A\cup{B}) = Card (A) +Card(B) - Card(A\cap{B}  \)   y cuando estudies probabilidad, a la fórmula \(  P(A\cup{B})=P(A) +P(B) - P(A\cap{B})  \)
Espero que esto te haya aclarado algo.
Saludos cordiales