[Juanchoton]

Hola buenas, tengo que demostrar una propiedad que me está volviendo loco de a poco

\( (a+b,[a,b]) = (a,b) \)
 
léase tambien que "el máximo común divisor de \( a+b \) y el mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \)), es igual al máximo común divisor de \( a \) y \( b \)

Solo tengo como pistas que deduje que \( a+b = (a,b)\cdot k  \) para algún \( k\in \Bbb Z \).

Muchísimas gracias de antemano, saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

Spoiler

Hola buenas, tengo que demostrar una propiedad que me está volviendo loco de a poco

[tex](a+b,[a,b]) = (a,b)[/tex]
 
léase tambien que "el máximo común divisor de [tex]a+b[/tex] y el mínimo común múltiplo de [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex]), es igual al máximo común divisor de [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex]

Solo tengo como pistas que deduje que [tex]a+b = (a,b)\cdot k [/tex] para algún [tex]k\in \Bbb Z[/tex].

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas, tengo que demostrar una propiedad que me está volviendo loco de a poco

\( (a+b,[a,b]) = (a,b) \)
 
léase tambien que "el máximo común divisor de \( a+b \) y el mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \)), es igual al máximo común divisor de \( a \) y \( b \)

Solo tengo como pistas que deduje que \( a+b = (a,b)\cdot k  \) para algún \( k\in \Bbb Z \).

 Es evidente que todo divisor común de \( a \) y \( b \), divide a \( a+b \) y a \( [a,b] \). Por tanto \( (a,b)|(a+b,[a,b]) \).

 Ahora sea \( p^n \) una potencia de un primo divisor común a \( a+b \) y a \( [a,b] \). Entonces dado que \( p^n \) divide a \( [a,b] \) entonces o bien divide a \( a \) ó bien divide a \( b \) (o a ambos). En ottro caso \( [a,b]/p \) sería un múltiplo común a \( a \) y \( b \) menor que \( [a,b]. \)

 Pero si \( p^n \) divide a \( a \) ó \( b \) y además a \( a+b \), entonces divide a \( a \) y \( b \).

 Concluye.

Saludos.

[Juanchoton]

Perdón pero no termino de encajar la solución

\( p^n | a \) o\(  p^n| b \) y además \( p^n|a+b \)

No termino de ver cómo conecta con que  \( (p^n)\cdot k = d = (a,b) \) para algún \( \Bbb k\in \Bbb Z \). Por ejemplo.
Mensaje corregido desde la administración. En LaTeX así:

[tex]p^n | a[/tex] o[tex] p^n| b[/tex] y además [tex]p^n|a+b[/tex]

No termino de ver cómo conecta con que  [tex](p^n)\cdot k = d = (a,b)[/tex] para algún [tex]\Bbb k\in \Bbb Z[/tex]. Por ejemplo.

[feriva]

Hola buenas, tengo que demostrar una propiedad que me está volviendo loco de a poco

\( (a+b,[a,b]) = (a,b) \)
 
léase tambien que "el máximo común divisor de \( a+b \) y el mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \)), es igual al máximo común divisor de \( a \) y \( b \)

Solo tengo como pistas que deduje que \( a+b = (a,b)\cdot k  \) para algún \( k\in \Bbb Z \).

Muchísimas gracias de antemano, saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

Spoiler

Hola buenas, tengo que demostrar una propiedad que me está volviendo loco de a poco

[tex](a+b,[a,b]) = (a,b)[/tex]
 
léase tambien que "el máximo común divisor de [tex]a+b[/tex] y el mínimo común múltiplo de [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex]), es igual al máximo común divisor de [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex]

Solo tengo como pistas que deduje que [tex]a+b = (a,b)\cdot k [/tex] para algún [tex]k\in \Bbb Z[/tex].

[cerrar]

Quizá sirva así también (puede que me equivoque en algo o no haya interpretado bien el enunciado).

\( a=dx
  \), \( b=dy
  \)

Con \( MCD(a,b)=d
  \), \( mcm(a,b)=dxy
  \); dado que “x” e “y” tienen que ser coprimos, pues si tuvieran un divisor común estaría como factor en “d”; y no podría estar en “x” e “y”.

Así puedes plantear la pregunta de este modo:\( MCD(dx+dy,dxy)=MCD(d(x+y),dxy)=d
  \).

Consiste en ver que \( (x+y)
  \) y \( xy
  \) son coprimos. Y tienen que serlo. Si no lo fueran, el supuesto factor común pertenecerá a “x” ó a “y” o a ambos; pero a ambos es claro que no, porque el factor estaría en “d”. Entonces tiene que ser sólo de “x” o de “y”; pero así es imposible que divida a \( (x+y)
  \), no puede existir; luego son coprimos. Por tanto es cierto que \( MCD(d(x+y),dxy)=d
  \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Perdón pero no termino de encajar la solución

\( p^n | a \) o\(  p^n| b \) y además \( p^n|a+b \)

No termino de ver cómo conecta con que  \( (p^n)\cdot k = d = (a,b) \) para algún \( \Bbb k\in \Bbb Z \). Por ejemplo.

1) Si \( p^n \) divide a \( a \) y divide a \( a+b  \)entonces \( p^n \) divide a \( b=(a+b)-a \) (porque divide a los dos números que restamos). ¿De acuerdo?.

2) Por el mismo motivo, si \( p^n \) divide a \( b \) y divide a \( a+b  \)entonces \( p^n \) divide a \( a=(a+b)-b \) (porque divide a los dos números que restamos). ¿De acuerdo?.

3) Entonces tenemos que \( p^n \) divide a los dos, a \( a \) y \( b \), es decir, es un divisor común a ambos. ¿De acuerdo?.

4) Pero cualquier divisor común a ambos es divisor de su máximo común divisor. ¿Bien?.

Si tienes dudas indica claramente en que punto.

También puedes echar un vistazo al método de feriva. Es cómodo.

Saludos.

P.D. Estoy corrigiendo la escritura de todos tus mensajes. Sería bueno que mostrases alguna intención de seguir las indicaciones e intentar escribir las fórmulas en LaTeX. Te he ido dejando ejemplos de como hacerlo.

[Juan Pablo Sancho]

Puedes usar que \( d = (a,b) \) entonces:
\( a= d \cdot a'  \) y \( b = d \cdot b' \) con \( (a',b')=1 \)
tambien que \(  (kj,kl) = |k| \cdot (j,l)  \) y \( |a\cdot b| = (a,b) \cdot [a,b] \) con todo eso:
\( (a+b , [a,b]) = (da' + db' , \dfrac{|ab|}{d}) = (da' + db' , |a'b|) = d \cdot (a',b')  \) 
Y lo que dijeron los demás...