[Richard R Richard]

haber animaros, ya os presento un caso interesante, haber si alguien me pasa la segunda derivada.

Hola, animate!!!!,  dinos donde esta el centro instantáneo de rotación donde efectuás el calculo, ya te hemos pedido que nos describas mejor el sistema.
Define que letras son constantes respecto del tiempo y que letras son funciones dependientes del tiempo
como no lo indicas, no se puede hacer una derivada de lo que se intuye , sino de lo que se sabe.
a ver

\( \omega=\dfrac{-2lv}{\sqrt{4Q^2-K^2-l^4+2Kl^2}} \)
pero si \( \omega l=v \) algo anda mal.... v tiene componente en dirección radial y tangencial...
escribe unas lineas indicando lo pedido el resto es fácil si se interpreta correctamente , \( l \) depende del tiempo ?, y necesitamos establecer cual es la coordenada espacial que varia en el tiempo y que es esa velocidad acaso \(  v=l/t? \)
Si eres mas claro seguro obtendrás respuesta clara.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola ya que no lo haces tu doy el ejemplo,

en cualquier triángulo , puedes aplicar el teorema del seno
\( \dfrac{L}{\sin\theta}=\dfrac{K}{\sin\alpha}=\dfrac{Q}{\sin\beta} \)
Si intuyo bien

\( v=\dfrac{\partial L}{\partial t} \)

y la velocidad angular instantánea respecto en el angulo donde se mide  \( \theta \) es

\( \omega=\dfrac{v}{r}=\dfrac{v}{K\sin\beta}= \)
pero de la primera relación se extrae que

\( \sin\beta=\sin\theta\dfrac{Q}{L} \)
reemplazando

\( \omega=\dfrac{v}{K\sin\theta\dfrac{Q}{L}}=\dfrac{vL}{KQ\sin\theta} \)
que es lo mismo que

\( \dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\dfrac{\dfrac{\partial L}{\partial t}L}{KQ\sin\theta} \)
entonces\( \dfrac{\partial \theta}{\cancel {\partial t}}=\dfrac{\dfrac{\partial L}{\cancel{\partial t}}L}{KQ\sin\theta} \)

\( \sin\theta d \theta =\dfrac{1}{KQ}L\,d L \)
resolviendo la ED

\( \cos \theta_0-\cos\theta=\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ} \)
o bien usas
\( L=\sqrt{L_0^2+2KQ(\cos \theta_0-\cos\theta)} \)
o

\( \theta =\arccos\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right) \)
luego
\( \omega=\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\dfrac {-1}{\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}}\dfrac{2L}{2KQ}\overbrace{\dfrac{\partial L}{\partial t}}^{v} \)

\( \omega=\dfrac {-Lv}{KQ\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}} \)
bueno ahora si derivo nuevamente tienes tres funciones multiplicando y dividiendo entre si, la aceleración angular resulta en

\( \vec \alpha= \dfrac{(-v^2-L\,a)KQ\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}-(-Lv)\dfrac{-2KQ\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)\dfrac{-2Lv}{KQ}}{2\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}}}{\left(KQ\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}\right)^2} \)

donde \( a \) es la aceleración del pistón... por eso preguntaba si \( v \) es constante o no.

Si es constante entonces \( a=0 \) y hay algunas simplificaciones posibles a simple vista


\( \vec \alpha= \dfrac{-v^2KQ\left(1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2\right)+L^2v^2 2\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)}{K^2Q^2\left(\sqrt{1-\left(\cos \theta_0-\dfrac{L^2-L_0^2}{2KQ}\right)^2}\right)^3} \)


Si hay algún gazapo por favor marcarlo
Saludos

[Richard R Richard]

Bueno ahora caigo en cuentas de que pppv ha usado el teorema de coseno


\( K^2+Q^2-2KQ\cos\theta=L^2 \)


Más tarde ampliaré ,para ver si llego a la misma solucion
edito

\( \theta=\arccos\left(\dfrac{K^2+Q^2-L^2}{2KQ}\right) \)
de allí

\( \omega=\dfrac{Lv}{KQ\sqrt{1-\left(\dfrac{K^2+Q^2-L^2}{2KQ}\right)^2}} \)

y \( \alpha= \dfrac{v^2}{KQ}\dfrac{\sqrt{1-\left(\dfrac{K^2+Q^2-L^2}{2KQ}\right)^2}+\dfrac{L^2}{2k^2Q^2}\left(K^2+Q^2-L^2\right)}{\sqrt{1-\left(\dfrac{K^2+Q^2-L^2}{2KQ}\right)^2}^3} \)
Como no coinciden en alguna de las dos hay algún gazapo oculto  a mi vista. cuya causa no es haber usado  distintas condiciones de contorno al integrar.

[pppv]

gracias por las fórmulas, las comprobaré, hago una tabla de excel y hago una derivada aproximada cada grado, haber si me da parecido la gráfica.

[pppv]

en el segunda caso, en el resuelto por el teorema del coseno, parece que falta la aceleración lineal "a" en la aceleración angular.

[pppv]

¿no podríais hacer directamente la derivada de la función que presente? justamente con las mismas letras.

[Richard R Richard]

¿no podríais hacer directamente la derivada de la función que presente? justamente con las mismas letras.

No, porque no se que representan tus letras en el grafico, te he pedido me lo indiques,  he intentado aproximarme ,  no  se si son constantes o variables con el tiempo, dime en mi grafico que sería el valor de K y el valor de Q en tu formula, estamos de acuerdo en que tu K es \( \mathbf K=K^2+Q^2 \) expresado en mis variables  y que tu Q es \( \mathbf Q=KQ \) de las mias  si es así  es solo aplicar las reglas de la derivación del producto y división de 3 funciones aplicando la regla de la cadena.
es repetir lo que he hecho, confirmame y lo posteo si aun no te sale

[pppv]

te mando el dibujo, sería par "zeta"2
la regla de la cadena no me acuerdo lo que es, pero tengo dudas al derivar la velocidad si hay que derivar más o algo así.

[pppv]

ya me dio, lo comprobé en excel, lo hice por el arcocoseno 

[pppv]

ahí os paso la formula, haber si la organización permite el formato.
\( \displaystyle \infty_2 = \dfrac{(-2 \cdot v^2 - 2 \cdot l \cdot a) \cdot \sqrt{4Q^2 - K^2 - l^4 - 2Kl^2} + \dfrac{lv^2(-4l^3 + 4Kl)}{\sqrt{4Q^2 - K^2 - l^4 - 2Kl^2}}}{4Q^2 - K^2 - l^4 - 2Kl^2}  \)

Corregido por moderador: Las fórmulas matematicas tienen que ir con latex.