[karlos7]

Pues eso, me gustaria que alguien me ayudese con el siguiente problema.
Ya que no tengo ni idea de cómo empezar, soy alumno de primero de bachiller y nos lo han puesto como ampliación.

Tenemos que demostrar que los coeficientes del polinomio \( (a+b)^{63} \) son impares, con el único dato de que \( 63 = 2^6 - 1 \)

A  ver si alguien me puede ayudar o darme una orientación o algo.

Muchas gracias

[karlos7]

Alguien me podria responder?
Gracias por adelantado

[almendra]

Hola.

¿Podés usar  congruencias?

Se me ocurre que sería buena idea  mirar \( (a+b)^{63} \) en \( \mathbb{Z}_2 \).

En \( \mathbb{Z}_2 \) se puede calcular fácilmente \( (a+b)^n \), cuando \( n \)   es una potencia de 2 y  luego, recordando que  63=1+1+4+8+16+32, entonces .....

Saludos.

[karlos7]

Muchas gracias. Pero lo que me explicas me suena poco o nada.
Algo que se pueda hacer con las enseñanzas de primero de bachiller?
Gracias por adelantado

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Convéncente que tu problema se resuelve si eres capaz de probar que todos los coeficientes de \( (a+b)^{64} \) son pares (excepto el primero y el último). Para ello ten en cuenta que por el triángulo de Tartaglia los coeficientes de la potencia 64 se obtienen sumando los de la potencia 63 y que impar+impar=par, pero par+impar=impar.

 2) Para probar que \( (a+b)^{64} \), tiene todos los coeficientes pares excepto primero, demuestra en general que \( (a+b)^{2^n} \) siempre cumple esa propiedad. Utiliza que:

\( (a+b)^{2^n}=((a+b)^{2^(n-1)})^2 \)

 Por ejemplo, para probar que los de \( (a+b)^4 \) son todos (excepto extremos) pares, utiliza que:

\( (a+b)^4=((a+b)^2)^2 \)

 Para probar que todos los de \( (a+b)^8 \) son pares utiliza que:

\( (a+b)^8=((a+b)^4)^2 \)

 Etcétera...

Saludos.