[hernanlopezpardo]

Como les va, estoy practicando algunos ejercicios para el final de Febrero. Tengo el siguiente que me pide averiguar "k" para que no sea diagonalizable y tambien tenga multipilicidad algebraica 2.
\( B={v_1 , v_2 , v_3} \)
\( f(v_1)=v_1 + 2v_2 +kv_3 \)
\( f(v_2)=4v_2 \)
\( f(v_3)=kv_1 + 2v_2 +v_3 \)

Yo arranque pensando que 4 mas alla de ser autovalor, nose si tiene multiplicidad doble o es la otra raiz. Asi que construi la matriz B´
\( f(1,0,0)=(1,2,k) \)
\( f(0,1,0)=(0,4,0) \)
\( f(0,0,1)=(k,2,1) \)

\( \begin{bmatrix}{1}&{2}&{k}\\{0}&{4}&{0}\\{k}&{2}&{1}\end{bmatrix} \)
 Ahora como procedo, desarrollo el determinante?. Si reemplazo lambda por 4 por ejemplo, k se anula. Si desarrollo el determinante y le realizo al resultado ruffini usando la raiz 4 me queda una cuadrática, pero nose como restringirla para saber cuanto debe valer k, y si la raiz doble es 4 u otra.
\( det\begin{bmatrix}{(1-\lambda)}&{2}&{k}\\{0}&{(4-\lambda)}&{0}\\{k}&{2}&{(1-\lambda)}\end{bmatrix}=0 \)

Muchas gracias.

[martiniano]

Hola.

Observa que desarrollando el determinante por la segunda fila la ecuación característica queda:

\[ (4-\lambda)((1-\lambda)^2-k^2)=0\;\Rightarrow{\;}(4-\lambda)(1-\lambda-k)(1-\lambda+k)=0 \]

De donde las raíces son \[ 4 \], \( 1-k \) y \( 1+k \).

Ahora hay que mirar para qué valores de \[ k \] los autovalores no son todos simples, ya que para que la matriz no sea diagonalizable debe haber necesariamente autovalores múltiples. Observa que para \[ k=0 \] el autovalor \[ \lambda=1 \] es doble, y para \[ k=3 \] o \[ k=-3 \] lo es \[ \lambda=4 \]. En cualquier otro caso las multiplicidades algebraicas son simples y por tanto la matriz diagonaliza.

Ahora intenta hallar para cada uno de estos casos la multiplicidad geométrica del autovalor doble (sólo puede valer 1 ó 2). La matriz no será diagonalizable en los casos en los que dicha multiplicidad sea \[ 1 \] y sí lo será si vale \[ 2 \].

Un saludo.

[hernanlopezpardo]

Buenisimo. Estoy haciendolo.