[Xtimmler]

Hola foro tengo el siguiente problema:

"El conductor de la figura transporta una
corriente de 8 Amperes y tiene la forma que se muestra. Hallar el campo magnético B en el punto “P” sobre el eje de simetría, debido a cada segmento y el valor total del mismo creado por todo el conductor. Las dimensiones están en la figura."




Empiezo haciendo el cálculo:

\( d\vec{B} = \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} \)

\( d\vec{B} = \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot dl \cdot sin(\alpha)  }{r^2} \)



yo luego lo seguiría así:

\( r^2=b^2+x^2 \)

\( sin(\alpha ) = \frac{b}{r} = \frac{x}{\sqrt[]{b^2+x^2}} \)

\( \vec{B}=\displaystyle\int_{\frac{-L}{2}}^{\frac{L}{2}} \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot b  \cdot dx   }{(b^2+x^2)^{3/2}} \)

Y haciendo la integral el resultado no me da.

Luego vi que en la guía estaba la resolución y note que en la solución pone

\( r^2=b^2+(x-a)^2 \)

con \( a = 0,5\; cm \)

a siendo la mitad entre \( 0 \) y \( L/2 \)

Pero no explica bien de donde sale esa a o porque, ¿está la solución mal?, o ¿yo estoy mal?

la solucion segun la guia es:

\( \vec{B}= \displaystyle\frac{μ_0 \cdot i}{4b\cdot{}π}\cdot [ \displaystyle\frac{ L/2-a   }{\sqrt{(L/2-a)^2+b^2}} + \displaystyle\frac{ L/2-a   }{\sqrt{(L/2+a)^2+b^2}}]
 \)

que eso lo multiplica por 4 porque son 4 tramos de \( L/2 \)  \( cm \) dándole como resultado final:

\(
2,26\cdot{10^{-4}}T \)

desde ya muchas gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.

Quizás te falte la contribución al campo magnético, de los dos segmentos de hilo verticales.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Quizás te falte la contribución al campo magnético, de los dos segmentos de hilo verticales.

que eso lo multiplica por 4 porque son 4 tramos de \( L/2 \)  \( cm \) dándole como resultado final:

\(
2,26\cdot{10^{-4}}T \)

Creo que ya lo tuvo en cuenta.
Agregado
Pero cuando hizo la integral tomo los límites de 2 sectores por lo que el resultado debería se la mitad si lo multiplicó por 4.

[martiniano]

Hola.

Hola foro tengo el siguiente problema:

"El conductor de la figura transporta una
corriente de 8 Amperes y tiene la forma que se muestra. Hallar el campo magnético B en el punto “P” sobre el eje de simetría, debido a cada segmento y el valor total del mismo creado por todo el conductor. Las dimensiones están en la figura."




Empiezo haciendo el cálculo:

\( d\vec{B} = \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} \)

\( d\vec{B} = \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot dl \cdot sin(\alpha)  }{r^2} \)



yo luego lo seguiría así:

\( r^2=b^2+x^2 \)

\( sin(\alpha ) = \frac{b}{r} = \frac{\color{red} x}{\sqrt[]{b^2+x^2}} \)

\( \vec{B}=\displaystyle\int_{\frac{-L}{2}}^{\frac{L}{2}} \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot b  \cdot dx   }{(b^2+x^2)^{3/2}} \)

Yo en general lo veo bien. Tienes alguna erratilla como la \[ x \] que te he marcado en rojo o que sigues poniendo flechitas sobre la \[ B \] después de tomar módulos, pero lo demás lo veo bien.

Ten en cuenta que eso que has obtenido es el campo que crea el hilo horizontal, que es igual al que crean los dos elementos verticales. Es decir, la solución debería ser el doble de lo que obtengas ahí.

Luego vi que en la guía estaba la resolución y note que en la solución pone

\( r^2=b^2+(x-a)^2 \)

con \( a = 0,5\; cm \)

a siendo la mitad entre \( 0 \) y \( L/2 \)

Pero no explica bien de donde sale esa a o porque, ¿está la solución mal?, o ¿yo estoy mal?

No te preocupes por eso. Es la manera que tiene el libro de definir la variable \[ x \]. Es decir, tu \[ x \] y la del libro no son la misma, pero si los límites de integración se colocan bien y las integrales se realizan también correctamente los resultados deberían coincidir.

Un detalle en estos problemas es que las integrales que aparecen suelen ser más fáciles de resolver si se plantean directamente mediante variables angulares. Si no lo haces así tampoco pasa nada, lo único que en los cambios de variable típicos suelen acabar apareciendo esas variables. Es decir, aquí:

\( d\vec{B} = \displaystyle\frac{μ_0}{4π}\cdot\displaystyle\frac{i\cdot dl \cdot sin(\alpha)  }{r^2} \)

Parece un buen momento para intentar dejarlo todo en función de \[ \alpha \] en lugar de \[ x \].

Un saludo.

[JCB]

Hola a tod@s.

He considerado el origen de coordenadas en el punto P, donde se pretende hallar el campo magnético.

1) Campo magnético debido al segmento horizontal de longitud L.

\( d\vec{l}=dx\hat\imath \)

\( \vec{r}=-x\hat\imath-\dfrac{L}{2}\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dx(-\hat k) \)

\( \vec{B_1}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dx}{\left(x^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

2) Campo magnético debido al segmento vertical izquierdo de longitud L/2.

\( d\vec{l}=dy\hat\jmath \)

\( \vec{r}=\dfrac{L}{2}\hat\imath-y\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dy(-\hat k) \)

\( \vec{B_2}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dy}{\left(\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+y^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{2\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

3) Campo magnético debido al segmento vertical derecho de longitud L/2. Coincide con 2).

4) Campo magnético total.

\( \vec{B}=\vec{B_1}+2\vec{B_2}=\dfrac{\sqrt{2}\mu_0I}{\pi L}(-\hat k)=2,26\cdot10^{-4}(-\hat k)\ T \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Xtimmler]

Hola a tod@s.

He considerado el origen de coordenadas en el punto P, donde se pretende hallar el campo magnético.

1) Campo magnético debido al segmento horizontal de longitud L.

\( d\vec{l}=dx\hat\imath \)

\( \vec{r}=-x\hat\imath-\dfrac{L}{2}\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dx(-\hat k) \)

\( \vec{B_1}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dx}{\left(x^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

2) Campo magnético debido al segmento vertical izquierdo de longitud L/2.

\( d\vec{l}=dy\hat\jmath \)

\( \vec{r}=\dfrac{L}{2}\hat\imath-y\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dy(-\hat k) \)

\( \vec{B_2}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dy}{\left(\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+y^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{2\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

3) Campo magnético debido al segmento vertical derecho de longitud L/2. Coincide con 2).

4) Campo magnético total.

\( \vec{B}=\vec{B_1}+2\vec{B_2}=\dfrac{\sqrt{2}\mu_0I}{\pi L}(-\hat k)=2,26\cdot10^{-4}(-\hat k)\ T \).

Saludos cordiales,
JCB.

Sos un genio.
 


Ahora lo entiendo bien, a mí se me dan mejor ver las cosas con vectores.

Muchísimas Gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.

En honor a la verdad, estuve unos días dudando acerca de la conveniencia de la publicación de la respuesta # 4. El motivo es que en otra ocasión (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116428.msg465390#msg465390), ya tuve una advertencia de la Administración, sobre la utilización a la ligera de los diferenciales.

Espero que en el caso presente, no haya cometido ninguna irregularidad, y si es así, que alguien con mayor criterio que el mío, se manifieste.

Saludos cordiales,
JCB.