Hola
Tienes varios errores e imprecisiones en el enunciado.
Hola, me gustaría encontrar la relación entre 2 bases de un espacio vectorial real. Conozco la relación, pero no logro probarla. A ver si alguien puede ayudarme.
Sea \( n \in \mathbb{N} \) y sea \( N=\left\{1,2,\ldots,n\right\} \).
Sea \( \mathcal{P}(N) \) el conjunto potencia de \( N \).
Consideremos el espacio vectorial \( \mathbb{R}^{2^n-1} \).
Ahí estás considerando \( \mathbb{R}^{2^n-1} \) como el conjunto de aplicaciones de \( \mathcal{P}(N)-\{\emptyset\}\to \Bbb R \). No está de más apuntarlo.
Sea \( A \subseteq N \).
Una base de \( \mathbb{R}^{2^n-1} \) es \( \left\{{\alpha_B : B \subseteq \color{red}a\color{black}, B \neq \emptyset}\right\} \) donde
\( \alpha_B(A)=\begin{cases}{1}&\text{si }A \supseteq B, \\0 & \text{en otro caso.}\end{cases}
\)
Es: \( \left\{{\alpha_B : B \subseteq \color{red}\Bbb N\color{black}, B \neq \emptyset}\right\} \)
Otra base de \( \mathbb{R}^{2^n-1} \) es \( \left\{{\beta_B : B \subseteq \color{red}A\color{black}, B \neq \emptyset}\right\} \) donde
\( \beta_B(A)=\begin{cases}{1}&\text{si }A = B, \\0 & \text{en otro caso.}\end{cases}
\)
Es: \( \left\{{\beta_B : B \subseteq \color{red}N\color{black}, B \neq \emptyset}\right\} \)
Un vector cualquiera \( x \in \mathbb{R}^{2^n-1} \) se puede escribir como combinación lineal de los vectores \( \alpha_B \) como
\[ x=\sum_{A \subseteq N:A \neq \emptyset} c_x(B)\cdot \alpha_B \]
Ojo. Ahí debe de ser:
\[ x=\sum_{\color{red}B \subseteq N:B\color{black} \neq \emptyset} c_x(B)\cdot \alpha_B \]
(1)donde
\[ c_x(B)=\sum_{A \subseteq B}(-1)^{|B|-|A|}x(A). \] (2)
Las coordenadas del vector \( x \in \mathbb{R}^{2^n-1} \) respecto a la otra base \( \beta_B \) son muy triviales
\[ x=\sum_{A \subseteq N:A \neq \emptyset} x(B)\cdot \beta_B. \]
Ahí debe de ser:
\[ x=\sum_{\color{red}B \subseteq N:B\color{black} \neq \emptyset} x(B)\cdot \beta_B. \]
Lo que quiero encontrar es la relación entre la base \( \alpha_B \) y \( \beta_B \) (o la matriz de cambio de base). Creo que esa relación viene dada por
\[ \beta_B=\sum_{B \in \mathcal{P}(N) \setminus \left\{ \emptyset \right\}: B \subseteq A} (-1)^{|A|-|B|}\alpha(A), \]
pero no he sido capaz de probar esta relación. Agradecería si alguien me ayuda a probar esta última relación.
Tienes un problema de notación ahí; el \( B \) de \( \beta_B \) es fijo. Estás fijando un vector \( \beta_B \) de la segunda base. El del sumatorio es "otro" \( B \) que varía. Por lo demás, si ya tienes probadas las fórmulas (1) y (2) es inmediato. Aplicando la fórmula (1) a un vector \( \beta_B \) tienes que:
\[ \beta_B=\sum_{C \subseteq N:C \neq \emptyset} c_{\beta _B}(C)\cdot \alpha_C \]
donde
\[ c_{\beta _B}(C)=\sum_{A \subseteq C}(-1)^{|C|-|A|}\beta_B(A) \]
Ahora por la definición de \( \beta_B \) está expresión queda:
\( c_{\beta _B}(C)=\begin{cases}{(-1)^{|C|-|B|}}&\text{si}& B\subset C\\0 & \text{si}& B\not\subset C\end{cases} \)
y por tanto:
\( \beta_B=\displaystyle\sum_{C \subseteq N:B\subset C } (-1)^{|C|-|B|}\cdot \alpha_C \)
Saludos.
