Este post viene como resumen y contextualización de las respuestas de una pregunta de este hilo que enlazo
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119226.msg479883#msg479883Se trata de comprobar que la divergencia de un potencial vectorial mágnetico concreto es cero, dada la condición de corrientes estacionarias ( la divergencia de la densidad de corriente es cero).
Antecedentes ó contexto ( Tomado en gran medida del volumen 2 de lecciones de física de Feynman Tema 14.)
Partiendo de la ec. de Maxwell \( \nabla \cdot{}\vec{B}=0 \) , nos indica que el campo magnético proviene de un potencial magnético como
\( \vec{B}=\nabla \wedge \vec{A} \) ya que se cumple que \( \nabla \cdot{}\nabla \wedge \vec{A}=0 \) por las propiedades matemáticas de los operadores.
Este potencial vector viene indeterminado por la adición de un gradiente de una función escalar que no afecta al campo magnético asociado, de forma análoga a que el potencial escalar viene indeterminado por una constante, a falta de fijar un origen de potencial.
Es fácil ver que \( \vec{A'} =\vec{A}+\nabla \phi \) es otro potencial vector del campo magnético, puesto que : \( \nabla\wedge\vec{A'} =\nabla\wedge\vec{A}+\cancelto{0}{\nabla\wedge \nabla \phi}=\vec{B} \)
Y este potencial escalar se puede buscar de tal manera que anule la divergencia de \( \vec{A'} \)
Puesto que \( \nabla\cdot{}\vec{A'}=\nabla\cdot{}\vec{A}+\nabla ^2 \phi \) , si hacemos que \( \nabla ^2 \phi=-\nabla\cdot{}\vec{A}\rightarrow{}\nabla\cdot{}\vec{A'}=0 \)
A partir de ahora tomamos \( \vec{A} \) tal que cumple que \( \nabla\cdot{}\vec{A}=0 \) Esto es útil como veremos ahora para obtener explícitamente una expresión para el potencial vector.
Tomando la ecuación de Maxwell para el campo magnético: \( \displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\,\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} \)
Si suponemos campos estacionarios.
\( \displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}} \)
Entonces \( \displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge (\nabla \wedge \vec{A})=\mu _{0}{\vec {J}} \)
Usando una identidad vectorial tenemos que: \( \displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge (\nabla \wedge \vec{A})=\nabla(\cancelto{0}{\nabla\cdot{}\vec{A}})-\nabla ^2\vec{A} \)
Llegando a la ecuación diferencial vectorial: \( \nabla ^2\vec{A}=-\mu _{0}{\vec {J}} \)
Que se desglosa en tres ecuaciones en componentes a modo de ecuaciones de campos escalares:
\( \nabla ^2A_x=-\mu _{0}J_x \) , \( \nabla ^2A_y=-\mu _{0}J_y \) , \( \nabla ^2A_z=-\mu _{0}J_z \)
Que tienen su completa analogía con la ecuación diferencial para el potencial escalar del campo eléctrico:
\( \nabla ^2\phi=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0} \)
Por esta analogía una solución de las ecuaciones del potencial vector viene dada por:
\( A_x=\dfrac{\mu _0}{4\pi}\displaystyle\int \dfrac{j_x(2)\, dV_2}{r_{12}} \) , \( A_y=\dfrac{\mu _0}{4\pi}\displaystyle\int \dfrac{j_y(2)\, dV_2}{r_{12}} \) , \( A_z=\dfrac{\mu _0}{4\pi}\displaystyle\int \dfrac{j_z(2)\, dV_2}{r_{12}} \)
Vectorialmente:
\( \vec{A}=\dfrac{\mu _0}{4\pi}\displaystyle\int \dfrac{\vec{J}(2)\, dV_2}{r_{12}} \)
(*)
Siendo el Punto (1) donde evaluamos el potencial vector \( \vec{r}_1=(x,y,z) \) y el punto (2) un punto de la distribución de densidad de corriente \( \vec{r}_2=(x',y',z') \) (que es la región de integración) y \( \vec{r}_{12} \) el vector que va de (1) a (2) ( ver dibujo)
Cuestión que se plantea en el hilo inicial.La cuestión que plantea el compañero Fernando en el hilo enlazado al principio, es comprobar que el potencial hallado (*), cumple la condición impuesta \( \nabla\cdot{}\vec{A}=0 \).
La idea es derivar directamente la expresión hallada teniendo en cuenta que por la ecuación de continuidad de la carga (\( \displaystyle \nabla \cdot {\vec {J}}=-{\partial \rho \over \partial t} \)) y ser estacionaria , entonces \( \nabla\cdot{}\vec{J}=0 \)
Nota: Por comodidad ( y estar acorde con la notación del hilo origen) Llamo\( \nabla \) al operador que actúa sobre las variables \( (x,y,z) \) ( coordenadas del punto (1) donde se evalúa el potencial ) y \( \nabla' \) al operador que actúa sobre las variables \( (x',y',z') \) ( coordenadas del punto (2) y donde está la distribución de corriente), también \( V'=V_2 \) y \( \vec{J'}=\vec{J}(2) \)
\( \nabla\cdot{}\vec{A}=-\dfrac{\mu_0}{4 \pi } \nabla\cdot\left(\displaystyle\int \dfrac{\vec{J'}}{r_{12}}d V'\right) =-\dfrac{\mu_0}{4 \pi } \displaystyle\int \vec{J'}\cdot \nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V' \)
Esta último término de la igualdad viene de que el operador \( \nabla \) áctua sobre las variables no primadas y por ello se puede introducir en la integral y la densidad de corriente "salir fuera" del operador como una constante , puesto que \( \nabla\cdot{}\vec{J'}=\nabla'\cdot{}\vec{J}=0 \) ( operan en variables distintas)
Como \( \vec{r}_{12}=\vec{r}'-\vec{r} \) y \( \displaystyle\frac{1}{r_{12}}=[(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2]^{-1/2}\Rightarrow{}\nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right)=-\nabla '\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \)
\( \nabla\cdot{}\vec{A}=\dfrac{\mu_0}{4 \pi } \displaystyle\int \vec{J'}\cdot \nabla '\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V' \) , por suponer corrientes estacionarias \( \nabla '\cdot{}\vec{J'}=0 \) , podemos introducir la densidad de corriente dentro del operador diferencial.
\( \nabla\cdot{}\vec{A}=\dfrac{\mu_0}{4 \pi } \displaystyle\int \nabla ' \cdot\left(\frac{\vec{J'}}{r_{12}}\right) d V' \)
Aplicando el teorema de Gauss y tomando un volumen de integración que incluya a V' y que garantice que en su superficie \( \vec{J'}=0 \)
Llegamos a que: \( \nabla\cdot{}\vec{A} =\dfrac{\mu_0}{4 \pi } \displaystyle\int \nabla ' \cdot\left(\frac{\vec{J'}}{r_{12}}\right) d V'=\displaystyle\int \frac{\vec{J'}}{r_{12}}\cdot d \vec{S'}=0 \)
Comentarios y aclaraciones en el hilo original.https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119226.msg479883#msg479883Saludos.
