[Quema]

Hola

Para dos v.a con la misma media es compatible que:

i) \( F(x)+F(-x)<G(x)+G(-x) \)
ii) \( f(x)-f(-x)<g(x)-g(-x) \) implica i)

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿A qué te refieres con "si es compatible"?.

 Es cierto que ii) implica i) con la hipóteis adicional de que \( F \) y \( G \) tienen soporte finito.

 No si preguntas si es posible que tengan la misma media. A bote pronto yo creo que si. Lo bueno de todas formas sería construir un ejemplo.

Saludos.

[Quema]

Hola

Me equivoqué, puedo decir que:

\( f(x)-f(-x)<g(x)-g(-x) \) para \( x\geq{}0 \) implica \( F(x)+F(-x)<G(x)+G(-x) \) para todo \( x \), ¿cómo lo pruebo?

Puede cumplirse simultáneamente que las dos variables tengan media cero y que

\( f(x)-f(-x)<g(x)-g(-x) \) para \( x\geq{}0 \) y de no ser posible pueden tener la misma media igual a cero y cumplirse que \( F(x)+F(-x)<G(x)+G(-x) \) para todo \( x \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo primero no tiene porqué ser cierto.

 Por ejemplo. Toma como \( f(x) \) una distribución simétrica y como \( g(x) \) una distribución que sólo tiene probabilidad en valores positivos de \( x \).
 
 Entonces:

 \( f(x)-f(-x)=0<g(x)-g(-x) \) para \( x>0 \)

 Sin embargo:

 \( F(x)+F(-x)=1<G(x)+G(-x)=G(x) \) para \( x\geq 0 \).

 El resultado si es cierto si supones:

\(  F(0)\leq G(0) \)

 Entonces tenemos una función:

\(  H(x)=F(x)+F(-x)-(G(x)+G(-x)) \)

 que cumple:

1) \(  H(0)=2(F(0)-G(0))\leq 0 \)
2) Para valores de \( x \) positivos:

\(  H'(X)=f(x)-f(-x)-(g(x)-g(-x))<0 \)

 Luego es decreciente. Por tanto:

\(  H(x)\leq 0 \) para todo \( x\geq 0 \), equivalentemente:

\(  F(x)+F(-x)\leq G(x)+G(-x) \)

 Además como \( H(x)=H(-x)  \) en realidad se cumple para todo \( x \) real.

Saludos.

[Quema]

Hola

Y pueden tener media cero y cumplirse esas desigualdades. Me suena a que
\( f(x)-f(-x)=0<g(x)-g(-x) \) para \( x>0 \), no puede cumplirse (salvo la igualdad) con media cero.

Saludos y gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 La media se calcula como:

\(  \mu(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\ldots=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x(f(x)-f(-x))dx \)

 Entonces si suponemos:

\(  f(x)-f(-x)<g(x)-g(-x) \) para todo \( x>0 \)  (I)

 Tendríamos:

\(  \mu(X)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x(f(x)-f(-x))dx< \displaystyle\int_{0}^{\infty} x(g(x)-g(-x))dx=\mu(Y) \)

 luego efectivamente no puede darse que cumplan (I) y que tengan la misma media.

 Sólo podríamos conseguirlo exigiendo mucho más en la condición (I):

\(  f(x)-f(-x)\leq g(x)-g(-x) \) para todo \( x>0 \)  y
\(  f(x)-f(-x)< g(x)-g(-x) \) en un conjunto de medida nula.

Saludos.