[Ardust]

Buenos días, necesito entregar estos ejercicios y tengo problemas para resolver dos apartados. Si me pueden ayudar se lo agradecería mucho.
El enunciado del primer ejercicio es: "Resuelve la recurrencia." (La imagen asociada es Ejercicio 1 Parte 2).

\( a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n+n+1 \)
con \( a_1=3,\quad a_2=4 \).

El enunciado del segundo ejercicio es: "Suma la serie cuando sea posible".(La imagen asociada es Ejercicio 2 parte 1).

\( \displaystyle\sum_{n\geq 2}\dfrac{7^{n+1}-(-3)^6}{2^{3n+1}} \)


 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Mensaje corregido desde la administración.

[franma]

Buenas Javier Goerlich,

Recuerda que la matemática debe escribirse en \( \LaTeX \) y no en imágenes adjuntas.

Te ayudo con el primero:
\( a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n +n+1 \)

Escribámoslo de una manera mas conveniente:
\( a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n =n+1 \)

Es una recurrencia no homogénea, primero debemos resolver la homogénea relacionada:
\( a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n =0 \)

Su polinomio característico es \( P(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10 \) cuyas raíces son: \( \lambda=5 \) y \( \lambda=2 \)

Ahora debemos buscar una solución particular, siguiendo la teoría esta nos dice que debe ser de la forma \( a_n (\text{particular}) = an+b \)

Sustituimos:

\( a(n+2)+b-7(a(n+1)+b)+10(an+b) =n+1 \)
\( an+2a+b-7(an+a+b)+10(an+b) =n+1 \)
\( an+2a+b-7an-7a-7b+10an+10b =n+1 \)
\( 4an-5a+4b =n+1 \)

De donde obtenemos el sistema:
\( \begin{cases}{4a=1}\\-5a+4b=1\end{cases} \)

Cuya solución es \( a=\dfrac{1}{4} \) y \( b=\dfrac{9}{16} \)

Luego la solución general es la suma de la homogénea mas la particular:
\( a_n=C_15^n + C_22^n + \dfrac{n}{4} + \dfrac{9}{16} \)

Impón condiciones iniciales para despejar \( C_1 \) y \( C_2 \)

Un saludo,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

El enunciado del segundo ejercicio es: "Suma la serie cuando sea posible".(La imagen asociada es Ejercicio 2 parte 1).

\( \displaystyle\sum_{n\geq 2}\dfrac{7^{n+1}-(-3)^6}{2^{3n+1}} \)

La puedes escribir como:

\( \displaystyle\sum_{n\geq 2}\dfrac{7^{n+1}}{2^{3n+1}}-3^6\displaystyle\sum_{n\geq 2}\dfrac{1}{2^{3n+1}}=
\dfrac{7}{2}\displaystyle\sum_{n\geq 2}\left(\dfrac{7}{8}\right)^n-\dfrac{3^6}{2}\displaystyle\sum_{n\geq 2}\dfrac{1}{8^n} \)

y ten en cuenta que si \( |a|<1 \) entonces:

\( \displaystyle\sum_{n\geq 2}a^n=\dfrac{a^2}{1-a} \)

Saludos.

[manooooh]

Hola

Su polinomio característico es \( P(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10 \) cuyas raíces son: \( \lambda=5 \) y \( \lambda=2 \)

Solo una pequeña aclaración: en rojo debería ser o.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Su polinomio característico es \( P(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10 \) cuyas raíces son: \( \lambda=5 \) y \( \lambda=2 \)

Solo una pequeña aclaración: en rojo debería ser o.

No. Las raíces no son una u otra; son ambas. Está bien usar "y".

Saludos.

[manooooh]

Hola

No. Las raíces no son una u otra; son ambas. Está bien usar "y".

No está del todo bien usar la misma variable para indicar dos raíces distintas. Se entiende que dice "Las raíces que son \( 5 \) y \( 2 \) al mismo tiempo". Cosa distinta es listarlas, por ejemplo \( \lambda_1=5 \) y \( \lambda_2=2 \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

No. Las raíces no son una u otra; son ambas. Está bien usar "y".

No está del todo bien usar la misma variable para indicar dos raíces distintas. Se entiende que dice "Las raíces que son \( 5 \) y \( 2 \) al mismo tiempo". Cosa distinta es listarlas, por ejemplo \( \lambda_1=5 \) y \( \lambda_2=2 \).

Si, de acuerdo; no me estaba fijando en el nombre de \( \lambda \) que le había dado. No creo aún si que se entienda lo que he marcado en rojo. Simplemente podría no haber puesto el \( \lambda= \) o colocarle un subíndice. No obstante que quede claro que todo esto es muy intrascendente; ¡pero mucho eh!. 

Saludos.

[manooooh]

Hola

(...) No obstante que quede claro que todo esto es muy intrascendente; ¡pero mucho eh!. 

Ap"o y o" el comentario .

Saludos

[Ardust]

Luego la solución general es la suma de la homogénea mas la particular:
\( a_n=C_15^n + C_22^n + \dfrac{n}{4} + \dfrac{9}{16} \)

Buenas tardes, gracias por responder. Pero hay algo que no entiendo ¿Por qué en la solución final pone n/4 ? ¿No debería ser solo 1/4 ?
Gracias

[franma]

Buenas Javier Goerlich,

Buenas tardes, gracias por responder. Pero hay algo que no entiendo ¿Por qué en la solución final pone n/4 ? ¿No debería ser solo 1/4 ?
Gracias

Fíjate que cuando planteamos una posible solucion particular esta fue de la forma:

Ahora debemos buscar una solución particular, siguiendo la teoría esta nos dice que debe ser de la forma \( a_n (\text{particular}) = an+b \)

Una vez que encontramos los valores de a y b solo debemos remplazar en la solución particular que planteamos:

\( a=\dfrac{1}{4} \)

\( b=\dfrac{9}{16} \)

Luego \( a_n(\text{particular})=an+b=\dfrac{n}{4} + \dfrac{9}{16} \)

Cualquier duda pregunta nuevamente.

Saludos,
Franco.