[CintiaTotti]

Perdón yo lo entendí al revés.
Supuse que lo que te daban es que :
\( 35a + 17b = 20  \) y \(  2a +3b = 5m + 3  \) donde \( p^2 \) no divide ni a ni  a b con \( p \) primo entonces \(  (a,b) \in \{1,2\}  \)

 \(  2a +3b = 5m + 3  \) esto es una hipótesis no lo que se debe demostrar.
Mañana es otro día.

Ohhhh, pero que gran ayuda y que razón tenés! Estaba planteandolo mal, creo que pensandolo así todo se resuelve más facil. Lo tengo pensado, voy a probar hacerlo en una hoja luego de cenar y lo subo a ver qué opinan.

[CintiaTotti]

A ver, he pensado lo siguiente.

Como \( 35a+17b=20 \) esto significa que  \( (a,b)/20 \).

Por lo tanto las posibilidades que tengo para \( (a,b) \) son que sea {1, 2, 4, 5, 10 o 20}.

4 no puede ser por enunciado pues es cuadrado de 2 que es primo.

Y que \( 2a+3b=5m+3 \) significa que \( (a,b)/5m+3 \), esto significa que  \( (a,b) \) no es un múltiplo de 5.
De aquí se descartan la posibilidad de que sea 5, 10 o 15.

Por lo tanto \( (a,b) \in \{1,2\} \).

¿Qué opinan? Me convence bastante la verdad.

[Masacroso]

A ver, he pensado lo siguiente.

Como \( 35a+17b=20 \) esto significa que  \( (a,b)/20 \).

Por lo tanto las posibilidades que tengo para \( (a,b) \) son que sea {1, 2, 4, 5, 10 o 20}.

4 no puede ser por enunciado pues es cuadrado de 2 que es primo.

Y que \( 2a+3b=5m+3 \) significa que \( (a,b)/5m+3 \), esto significa que  \( (a,b) \) no es un múltiplo de 5.
De aquí se descartan la posibilidad de que sea 5, 10 o 15.

Por lo tanto \( (a,b) \in \{1,2\} \).

¿Qué opinan? Me convence bastante la verdad.

Yo lo veo bien. Otra forma de argumentarlo (que es esencialmente lo mismo) es observar que \( (a,b)\mid (20,5m+3) \) y como los divisores de 20 son \( \{1,2,4,5,10,20\} \) y \( 5\nmid 5m+3 \) entonces \( (a,b)\in\{1,2,4\} \). Pero como \( p^2\nmid a \) o \( p^2\nmid b \), para todo primo \( p \), entonces \( 4\nmid(a,b) \), de donde finalmente nos queda que \( (a,b)\in\{1,2\} \).∎

[CintiaTotti]

Muchas gracias a todos.