Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
No debes de usar una imagen para sustituir la escritura explícita de texto y fórmulas. Éstas se reservan para gráficos complementarios al contenido del mensaje.
Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración; de paso he arreglado algunos índices que estaban mal.
Quisiera saber por qué la última expresión no tiende a cero (no es igual a cero):
Por el teorema del valore medio tenemos:
\( |f(t_i)-f(t_{i-1})|=f'(c_i)(t_i-t_{i-1}) \)
Definimos la variación total como sigue:
\( sup\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}|f(t_j)-f(t_{j-1})| \)
Ahora, tomando la norma de la partición:
\( \|\pi\|=max\{|t_j-t_{j-1}|:j=1,2,\ldots,n\} \)
Por definición de la norma de la partición tenemos:
\( \|\pi\|\geq (t_j-t_{j-1}) \)
Reemplazando y combinando la expresión de arriba en el teorema del valor medio,
\( \displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}f'(c)\|\pi\|\geq \displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}f'(c_j)(t_J-t_{j-1}) \)
Tomamos límite sobre la norma de la partición tendiendo a cero.
\( \displaystyle\lim_{\|\pi\| \to 0}{}\|\pi\|\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}f'(c)=0 \)
¿Esta última expresión tiende a cero como la norma tiende a cero?¿O a qué converge?.
No. No tiene porque converger a cero. De hecho lo más probable es que no converja. Piensa por ejemplo en el caso en el que \( f'(x)=1 \) constante. Entonces:
\( \|\pi\|\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}f'(c)=(n-1)\|\pi\| \)
Para cualquier \( \pi \) constante puedes aumentar el número de trozos de la partición (manteniendo uno de ello suficientemente grande para no variar la norma de la misma) y esa suma será tan grande como queramos.
Por otra parte sería bueno que contextualizases más la pregunta. Parte de lo que haces parece tener con la fórmula que relaciona la variación total de una función derivable con la integral de su derivada en valor absoluto. Pero no acaba de quedar claro que se quiere concluir del fragmento que has puesto; además tiene errores. Además de algunos índices que he corregido, por ejemplo a la derivada le falta el valor absoluto.
Saludos.
