[hernanlopezpardo]

Como les va, podre pedirles una mano de como empezar este ejercicio?. Nose como construir la matriz A. Muchas gracias.

Sea \( A∈R^{3x3} \). Si 2 y −3 son autovalores de A asociados a los autovectores  (1,1,−2) y (0,0,5) respectivamente, calcular \( (A^3−2I)(\begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}) \).

[franma]

Buenas hernanlopezpardo,

\( (A^3−2I)  \left(\begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}\right) = A^3 \begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix} + A^3\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix} -2Id \begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix} -2Id \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix} \)

Ahora fíjate que si \( v \) es vector propio asociado al valor propio \( \lambda \) entonces:
\( A^n v = A^{n-1} A v = A^{n-1}\lambda v= \lambda A^{n-1} v = \ldots = \lambda^n v \)

Con eso ya debería salir.

Un saludo,
Franco.

[Fernando Revilla]

Como les va, podre pedirles una mano de como empezar este ejercicio?. Nose como construir la matriz A. Muchas gracias.

Sea \( A∈R^{3x3} \). Si 2 y −3 son autovalores de A asociados a los autovectores  (1,1,−2) y (0,0,5) respectivamente, calcular \( (A^3−2I)(\begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}) \).

No necesitas construir \( A \). Llamando \( u=(1,1,−2)^T, v=(0,0,5)^T  \) tenemos \( Au=2u, Av=-3v \) y como consecuencia, \( A^3u=8u, A^3v=-27v \). Ahora usa que \( \begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{4}\end{pmatrix}=-2u \) y que \( \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}=(2/5)v \).

P.D. Se adelantó franma.

[hernanlopezpardo]

Claro, yo opere mal, hice la resta de adentro. Estaba pensando como construir \( A^n v=\lambda^n v \). Ahi lo reviso, muchas gracias.

[hernanlopezpardo]

Si alguien lo hizo, le quedo \( \begin{pmatrix}{-12}\\{-12}\\{-7}\end{pmatrix} \)?

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Directamente si los vectores dados son autovectores cualquier múltiplo de ellos también. Te queda entonces:

\( (2^3-2)\cdot (-2,-2,4)+((-3)^3-2)(0,0,2)=(-12,-12,24)+(0,0,-58)=(-12,-12,-34) \)

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Gracias Luis, en estos examenes online es común que carguen mal la respuesta correcta los docentes. En este caso la solucion arrojo \begin{pmatrix}-18\\{-18}\\{-32}\end{pmatrix}.
Igualmente no lo hice para no perder puntaje.

Abrazo.