[jabalira]

Buenas tardes,

tengo mil dudas y problemas a la hora de resolver el ejercicio que adjunto , el tema de resolver las incógnitas me supera..., espero que me iluminen.

Las funciones \( f(x)=4\cdot x^2-x+a \) y \( g(x)=8\cdot x^2+b \cdot x+3 \) tienen la misma recta tangente en el punto \( (c,2c) \).
Determinad:

• los valores \( a, b \) y \( c \)
• la ecuación de la recta tangente común

Gracias de antemano y un cordial saludo.

Problema embebido en el texto por un moderador.

[delmar]

Hola jabalira

Bienvenido al foro

Es conveniente leas las reglas, los enunciados se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX y se muestra lo que se ha hecho para resolver el problema, de esa manera se llega en forma más rápida a puerto

Respecto al problema se trata de plasmar el enunciado, en ecuaciones, se dice que las dos curvas f y g tienen las misma recta tangente en el punto \( (c,2c) \) se nos da a entender que el punto pertenece a ambas curvas, forma parte de la intersección de las dos curvas, entonces :

\( f(c)=2c=4c^2-c+a \) Ec. 1, por pertenecer a f

\( g(c)=2c=8c^2+bc+3 \) Ec. 2 por pertenecer a g

Si tienen la misma recta tangente, la pendiente de la recta tangente a f es la misma para la recta tangente a g, obviamente en (c,2c), las pendientes son las derivadas :

\( f'(c)=g'(c)\Rightarrow{8c-1=16c+b}\Rightarrow{b=-8c-1} \) Ec. 3

Sustituyendo este último valor en la Ec. 2 se tiene :

\( 2c=8c^2+(-8c-1)c+3\Rightarrow{c=1} \) con este valor se pueden obtener sucesivamente b y luego a


Saludos

Ec. 3 corregida

[manooooh]

Hola

\( \color{red}f'(c)=g(c)\color{black}\Rightarrow{8c-1=16c+b}\Rightarrow{b=-8c-1} \) Ec. 3

Creo que aquí querías decir \( \color{red}f'(c)=g'(c) \).

Saludos

[delmar]

Hola

\( \color{red}f'(c)=g(c)\color{black}\Rightarrow{8c-1=16c+b}\Rightarrow{b=-8c-1} \) Ec. 3

Creo que aquí querías decir \( \color{red}f'(c)=g'(c) \).

Saludos

Sí manooooh es verdad, gracias por estar atento

Saludos

[jabalira]

Hola jabalira

Bienvenido al foro

Es conveniente leas las reglas, los enunciados se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX y se muestra lo que se ha hecho para resolver el problema, de esa manera se llega en forma más rápida a puerto

Respecto al problema se trata de plasmar el enunciado, en ecuaciones, se dice que las dos curvas f y g tienen las misma recta tangente en el punto \( (c,2c) \) se nos da a entender que el punto pertenece a ambas curvas, forma parte de la intersección de las dos curvas, entonces :

Para empezar, mil disculpas por no leer las reglas, no es excusa decir que encontré vuestro foro y me aferré a él como un clavo ardiendo, ya que me tenía que dar prisa por tiempo y estaba muy atascada... de hecho para nada pensé en realizarlo de la forma que me explicas, empecé por derivar \( f'(c)=g'(c) \), pero de esta forma:

\( 8\cdot x - 1 = 16\cdot x + b  \)
\( -8\cdot x=b \)
\( x= \displaystyle\frac{b}{-8} \)

o sea algo imposible...

Entonces, volviendo a tu explicación, ¿la x en verdad es la c? 

Infinitas gracias de nuevo por la pronta respuesta y la eficacia. 

[jabalira]

Una vez realizados los cálculos ¿\( a=-1 \)? y ¿\( b=-9 \)

\( f(1)=2·1=4·1^2-1+a \Longrightarrow{a=-1} \)
\( f(1)=2·1=8·1^2+b·1+3 \Longrightarrow{b=-9} \)

Ahora conseguir "ecuación de la recta tangente común", ¿debería sustituir en las ecuaciones principales la \( b \) y la \(  a \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, volviendo a tu explicación, ¿la x en verdad es la c? 

¡Claro, porque las derivadas han de coincidir en el punto \( x=c \)!.

Una vez realizados los cálculos ¿\( a=-1 \)? y ¿\( b=-9 \)

\( f(1)=2·1=4·1^2-1+a \Longrightarrow{a=-1} \)
\( f(1)=2·1=8·1^2+b·1+3 \Longrightarrow{b=-9} \)

Bien.

Ahora conseguir "ecuación de la recta tangente común", ¿debería sustituir en las ecuaciones principales la \( b \) y la \(  a \)?

Si. Una vez conocidos los valores de \( a,b,c \) basta que, con esos valores, cojas cualquiera de las dos funciones \( f(x) \) ó \( g(x) \) y calcules su recta tangente en el punto \( x=c=1 \). Vale cualquiera de los dos porque precisamente has hallado los valores de los parámetros para los cuales ambas tangentes coinciden.

Saludos.

[jabalira]

Ahora conseguir "ecuación de la recta tangente común", ¿debería sustituir en las ecuaciones principales la \( b \) y la \(  a \)?

Si. Una vez conocidos los valores de \( a,b,c \) basta que, con esos valores, cojas cualquiera de las dos funciones \( f(x) \) ó \( g(x) \) y calcules su recta tangente en el punto \( x=c=1 \). Vale cualquiera de los dos porque precisamente has hallado los valores de los parámetros para los cuales ambas tangentes coinciden.

Saludos.

Gracias Luis Fuentes, finalmente lo he resuelto de la siguiente forma (adjunto tres documentos), no sé si es mucho o no es esto lo que se pide... ya que el ejercicio al decir "recta tangente en el punto (c,2c)" entiendo que quiere decir, en el punto (1,2). Pero no sé entonces qué fórmula coger para la común...

[Richard R Richard]

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado y tiene la pendiente Dada cumple que

\( f'(x_0)=\dfrac{y-y_0}{x-x_0} \)

En el caso del problema

\( f'(c)=g'(c)=\dfrac{y-2c}{x-c} \)


Saludos

[jabalira]

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado y tiene la pendiente Dada cumple que

\( f'(x_0)=\dfrac{y-y_0}{x-x_0} \)

En el caso del problema

\( f'(c)=g'(c)=\dfrac{y-2c}{x-c} \)


Saludos

En este caso... sería \( \displaystyle\frac{x-1}{y-2} \)

Pero de dónde o cómo saco la x y la y? O en los adjuntos que hice anteriormente lo he sacado?

Si le puedes echar un vistazo por favor, mil gracias.