[hernanlopezpardo]

Buenas tardes, en el recuperatorio del 1er parcial que aprobe ayer, me tomaron este ejercicio que no pude realizarlo ya que estaba llevandome bastante tiempo.

Sea \( B=\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)\} \) base de \( \Bbb R^3 \) y \( f:\Bbb R^3\to \Bbb R^3 \) la t. lineal dada por \( M_{EB}(f)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}\\{k}&{k}&{-1}\\{2}&{0}&{k}\end{bmatrix} \) con \( k\neq 0 \) Para que f no sea monomorfismo y \( (1+b,1,1)\in Imf \) .

Primero pense tener la matriz en la misma base de entrada y de salida:
\( M_{BB}(f)=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{(2k-1)}&{2k}&{k}\\{(2+k)}&{2}&{2}\end{bmatrix} \)

Con exepción de \( k=0 \) para que no tenga núcleo, la dimensión de la Imagen seria 3, entonces no deberia anularse ninguna fila. La 3er fila se anula con \( k=-2 \).

Luego construi la Matriz y aplique la el valor que me pide que pertenezca a la imagen para despejarlo.

\( M_{BB}(f)=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{-2}\\{0}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1+b}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \)

Luego más allá de desarrollar la operación no se como averiguar que valor debe tener \( b \) para ser parte de la imagen.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( B=\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)\} \) base de \( \Bbb R^3 \) y \( f:\Bbb R^3\to \Bbb R^3 \) la t. lineal dada por \( M_{EB}(f)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}\\{k}&{k}&{-1}\\{2}&{0}&{k}\end{bmatrix} \) con \( k\neq 0 \) Para que f no sea monomorfismo y \( (1+b,1,1)\in Imf \) .

Primero pense tener la matriz en la misma base de entrada y de salida:
\( M_{BB}(f)=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{(2k-1)}&{2k}&{k}\\{(2+k)}&{2}&{2}\end{bmatrix} \)

Con exepción de \( k=0 \) para que no tenga núcleo, la dimensión de la Imagen seria 3, entonces no deberia anularse ninguna fila. La 3er fila se anula con \( k=-2 \).

Luego construi la Matriz y aplique la el valor que me pide que pertenezca a la imagen para despejarlo.

\( M_{BB}(f)=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{-2}\\{0}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1+b}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \)

Luego más allá de desarrollar la operación no se como averiguar que valor debe tener \( b \) para ser parte de la imagen.

Lo que tienes que imponer es que \( u=\begin{pmatrix}{1+b}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \) sea combinación lineal de las columnas de la matriz asociada. Nota que tal matriz tiene rango dos, es decir, sólo tiene dos columnas independientes. Entonces la cuestión es equivalente a que esas dos columnas independientes junto con \( u \) tenga rango \( 2 \):

\( rango\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1+b}\\{-5}&{-4}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}=2 \)

Lo puedes hacer escalonando o imponiendo que el determinante ha de ser cero.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Lo estoy haciendo pero no me sale, yo lo hice en filas y no en columas:

\( \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{-2}\\{1+b}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)

b deberia ser -1?. y k=-2?

El ejercicio marca la respuesta \( k=-2 y b=2 \) , igualmente como es multiple choice puede estar mal.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo estoy haciendo pero no me sale, yo lo hice en filas y no en columas:

\( \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{-2}\\{1+b}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)

b deberia ser -1?. y k=-2?

El ejercicio marca la respuesta \( k=-2 y b=2 \) , igualmente como es multiple choice puede estar mal.

Es que no puedes hacerlo por filas; la imagen de la aplicación está generada por las columnas de la matriz asociada, no por las filas.

Cosa distinta es que una vez que selecciones dos columnas de tal matriz, las coloques como filas de una nueva matriz e impongas que junto el vector dado tenga rango tres.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

\( det\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1+b}\\{-5}&{-4}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}=0 \)
\( 5[1-(2+2b)]=0 \)
\( 5[-1-2b]=0 \)
\( b=\displaystyle\frac{-5}{2} \)

Ahi las coloque en columnas y calcule el determinante.

[Luis Fuentes]

Hola

\( det\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1+b}\\{-5}&{-4}&{1}\\{0}&{2}&{1}\end{bmatrix}=0 \)
\( 5[1-(2+2b)]=0 \)
\( 5[-1-2b]=0 \)
\( b=\displaystyle\frac{-5}{2} \)

Ahi las coloque en columnas y calcule el determinante.

Has despejado mal. Queda \( b=-1/2. \)

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Si, perdón. Entonces para que no sea monomorfismo y \( (1+b, 1,1)\in{im(f)} \) seria \( k=-2 ,b=-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Les paso las respuestas del multiple choice:
a)\( k=-2,b\neq2 \)
b)\( k\neq-2,b\neq2 \)
c)Ninguna
d)\( k=-2,b=2 \)
e)No deseo contestar
f)\( k=-2,b\neq\displaystyle\frac{1}{2} \)
g)\( k\neq-2,b=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Yo elegi la e), ya que no lo sabia. La respuesta seria la c)Ninguna ?

El examen marco correcta la d).

[delmar]

Hola

Reconozco a mi también se me paso, el detalle esta en el enunciado cuando dicen \( (1+b,1,1)\in{Imf} \) las coordenadas se refieren a la base canónica, por que eso es lo más usual, en esas circunstancias hay que hallar las coordenadas del vector en la base B para ello se ha de dar  :

\( c_1\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1+b}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \)

De aquí se llega a : \( c_1=1, \ \ c_2=0, \ \ c_3=b \) evidentemente para que este vector pertenezca a la \( Imf \) ha de ser linealmente dependiente con dos vectores linealmente independientes de la matriz \( M_{BB} \) es decir se busca b tal que :

\( det \ \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{0}\\{0}&{2}&{b}\end{bmatrix}=0 \)

Y de aquí se desprende b=2, la respuesta es la d)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Reconozco a mi también se me paso, el detalle esta en el enunciado cuando dicen \( (1+b,1,1)\in{Imf} \) las coordenadas se refieren a la base canónica, por que eso es lo más usual, en esas circunstancias hay que hallar las coordenadas del vector en la base B para ello se ha de dar  :

\( c_1\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1+b}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \)

De aquí se llega a : \( c_1=1, \ \ c_2=0, \ \ c_3=b \) evidentemente para que este vector pertenezca a la \( Imf \) ha de ser linealmente dependiente con dos vectores linealmente independientes de la matriz \( M_{BB} \) es decir se busca b tal que :

\( det \ \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{-5}&{-4}&{0}\\{0}&{2}&{b}\end{bmatrix}=0 \)

¡Vale! No me di cuenta de ese detalle. Desde el principio supuse que había pasado la matriz a la base canónica, porque me parecía más natural. No me percaté de que estábamos usando la matriz en la base  \( B \).

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Entonces voy a trabajar siempre en canonica salvo que me pidan explícitamente otra base.

Muchas gracias