[Maria_Sanz]

Sea \( \Bbb R^* \) el conjunto de los números reales no nulos. En \( \Bbb R^* \) se define la relación

\( xRy\quad \Leftrightarrow{}\quad  \dfrac{x-1}{x^{2} } = \dfrac{y-1}{y^{2} } \)

Comprueba que \( R \) es una relación de equivalencia y encuentra sus clases.
Mensaje corregido desde la administración.

[franma]

Buenas Maria_Sanz,

Recuerda utilizar \( \LaTeX \) para la matemática.

¿Qué has intentado? Recuerda que para que una relación sea de equivalencia esta debe ser: reflexiva, simétrica y transitiva. Todas estas propiedades salen fácilmente aprovechando la reflexividad, simetría y transitividad de la igualdad.

También puedes probar que dada una función \( f:A\to B \) la relación \( a\mathcal{R}_f b \Longleftrightarrow{f(a)=f(b)} \) es de equivalencia.

Cualquier cosa pregunta nuevamente.

Saludos,
Franco.

[Maria_Sanz]

Buenas, pues las funciones que me comentas, no están en el temario, así que no tengo muy claro como hacerlo. Y respecto a las equivalencias, veo bine que sea simétrica y reflexiva, pero para que sea transitiva, no debería tener una incógnita "z".

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, pues las funciones que me comentas, no están en el temario, así que no tengo muy claro como hacerlo.

Pero lo que comenta franma no tiene que estar específicamente en ningún temario. Simplemente es una generalización de la relación que te da. En tu caso tendrías:

\( f:\Bbb R^+\to \Bbb R,\quad f(x)=\dfrac{x-1}{x^2} \)

Tan díficil (o fácil) es resolver el problema con el caso particular que te han dado como fácil (o difícil) es hacerlo para el caso general que te propone franma.

Y respecto a las equivalencias, veo bine que sea simétrica y reflexiva, pero para que sea transitiva, no debería tener una incógnita "z".

Tienes que probar que:

\( xRy,\quad yRz\quad \Rightarrow{}\quad xRz \)

Pero:

\( xRy \) significa que \( f(x)=f(y) \)
\( yRz \) significa que \( f(y)=f(z) \)

Por tanto \( f(x)=f(y)=f(z) \), es decir, \( f(x)=f(z) \) y así \( xRz \).

Spoiler

Si prefieres donde puse \( f(x),f(y),f(z) \) pon respectivamente \( \dfrac{x-1}{x^2},\dfrac{y-1}{y^2},\dfrac{z-1}{z^2} \).

[cerrar]

Saludos.

[Fernando Revilla]

@Maria_Sanz: con restecto a lo que dicen franma y Luis, mira el apartado (1) de https://fernandorevilla.es/2021/12/05/factorizacion-canonica-de-una-aplicacion/ y como ya te han comentado, basta sustituir \( f(x) \) en concreto por \( f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x^2} \).

[Maria_Sanz]

Vale, de acuerdo. Todo claro.

Muchas gracias a todos