[hernanlopezpardo]

Buenas tardes, les pido una orientación en este ejercicio?. En el parcial nos dan opciones pero quisiera obtener los valores de k sin tener que probar con cada uno.
Sea\(  B=\{v_1;v_2;v_3\}  \)base de un espacio vectorial V y sea \( f:V→V \) la t. lineal dada por \( f(v_1)=v_1+2v_2+kv_3;  \)\( f(v_2)=4v_2 \) y\(  f(v_3)=kv_1+2v_2+v_3 \) El conjunto de los números reales k para que f tenga simultáneamente un autovalor con multiplicidad algebraica 2 y NO sea diagonalizable.

Muchas gracias

[Fernando Revilla]

Buenas tardes, les pido una orientación en este ejercicio?. En el parcial nos dan opciones pero quisiera obtener los valores de k sin tener que probar con cada uno.
Sea\(  B=\{v_1;v_2;v_3\}  \)base de un espacio vectorial V y sea \( f:V→V \) la t. lineal dada por \( f(v_1)=v_1+2v_2+kv_3;  \)\( f(v_2)=4v_2 \) y\(  f(v_3)=kv_1+2v_2+v_3 \) El conjunto de los números reales k para que f tenga simultáneamente un autovalor con multiplicidad algebraica 2 y NO sea diagonalizable.

El polinomio característico de dará \( \chi (\lambda)=(4-\lambda)(\lambda^2-2\lambda +1-k^2) \) que proporciona los valores propios \( \lambda_1=4 \), \( \lambda_2=1+k \), \( \lambda_3=1-k \). Ahora iguala \( \lambda_i=\lambda_j \) con \( i\ne j \) etc.

[hernanlopezpardo]

Fernando, ¿por qué igualas los \( \lambda \)?. Quedan 0,-3 y 3.

Gracias.
Mensaje corregido desde la administración. ¡Intenta cuidar la ortografía!.

[Luis Fuentes]

Hola

Fernando, ¿por qué igualas los \( \lambda \)?. Quedan 0,-3 y 3.

Si todos los autovalores son reales y distintos, la aplicación es diagonalizable.

Dado que todos son reales, para que pueda NO ser diagonalizable debe de haber algún autovalor repetido, es decir, algún autovalor con multiplicidad algebraica mayor que uno. Aun encima, en el enunciado ya te piden que algún autovalor tenga multiplicidad dos.

El segundo paso es comprobar en cada un de esos caso, que el autovalor tiene multiplicidad algebraica dos, pero geométrica uno (si ambas coincidiesen SI sería diagonalizable).

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Gracias Luis, consulta: para cada uno de los 3 casos hay 3\( lamda \). Aunque algunos se repiten debo desarrollarlos todos para observar la multiplicidad?.

Abrazo

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Luis, consulta: para cada uno de los 3 casos hay 3\( lamda \). Aunque algunos se repiten debo desarrollarlos todos para observar la multiplicidad?.

Abrazo

Para cada valor de \( k \) que has obtenido hay un \( \lambda \) que se repite. Sólo debes de preocuparte de la multiplicidad algebraica y geométrica del autovalor repetido.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Muchas gracias y feliz fin de año.🎄