Hola
Alguien sabra como puedo demostrarlo
Sean $$W_{1}$$ y $$W_{2}$$ dos subespacios del espacio vectorial $$V$$ de dimensión finita tales que $$V=W_{1} \oplus W_{2} .$$ Sea $$\beta_{1}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right)$$ una base de $$W_{1}$$ y $$\beta_{2}=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{r}\right\}$$ una base de $$W_{2}$$.
a) Demuestre que $$\beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}, u_{1}, \ldots, u_{1}\right\}$$ es una base de $$V$$.
Para ver que son base tienes que comprobar dos cosas:
1) Que son independientes.
2) Que generan \( V \).
Lo segundo es inmediato. Dado que \( V=W_1+W_2 \), cualquier vector de \( V \) se escribe como \( v=w_1+w_2 \) con \( w_i\in W_i \).
Y cada \( w_i \) se expresa como combinación lineal de los vectores de cada base \( \beta_i. \)
Combinando ambas cosas \( v \) se escribe como combinación lineal de los vectores de \( \beta \).
Para ver que son independientes tienes que comprobar que si:
\( a_1v_1+\ldots+a_kv_k+b_1u_1+\ldots+b_ru_r=0 \) (*)
entonces todos los coeficiente \( a_i,b_j \) son nulos.
Pero (*) equivale a:
\( \underbrace{a_1v_1+\ldots+a_kv_k}_{W_1}=-(\underbrace{b_1u_1+\ldots+b_ru_r}_{W_2}) \)
y como \( W_1\cap W_2=\{0\} \) se deduce que:
\( a_1v_1+\ldots+a_kv_k=0 \)
\( b_1u_1+\ldots+b_ru_r=0 \)
y ahora aplica que \( \beta_1,\beta_2 \) son base y por tanto sus vectores independientes.
b) Sea $$T: V \rightarrow V$$ la transformación
$$
T\left(c_{1} v_{1}+\ldots+c_{k} v_{k}+d_{1} u_{1}+\ldots+d_{1} u_{r}\right)=c_{1} v_{1}+\ldots+c_{k} v_{k}
$$
Compruebe que $$T$$ es una transformación lineal.
Comprueba que cumple la definición de aplicación lineal:
\( T(au+bv)=aT(u)+bT(v) \)
Para ello expresa los vectores u,v como combinación lineal de los vectores de la base \( \beta \) y aplica la definición que te dan de \( T \).
Saludos.
