Hola
Hola alguien podria darme una idea de como hallar la matriz asociada a estas tranformaciones en base cononica.
$$
\begin{array}{l}
T: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2} \quad T(A)=A^{\prime} \\
T: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{3 \times 2} \quad T\left(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
a+b & c \\
d & a+c \\
b+c & b+d
\end{array}\right] \\
T: M_{2 \times 2} \rightarrow \mathrm{R} \quad T\left(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]\right)=a+b+c+d \\
T: M_{3 \times 3} \rightarrow \mathrm{R} \quad T(A)=\operatorname{tr} A
\end{array}
$$
Dada una aplicación lineal \( T:U\to V \) y dos bases \( B,B' \) respectivamente de \( U \) y \( V \), la matriz asociada a \( T \) respecto a dichas bases es aquella cuyas columnas son las coordenadas respecto a la base \( B' \) de las imágenes de los vectores de la base \( B \).
Por ejemplo para tu segunda función:
\( \begin{array}{l} T: M_{2 \times 2} \rightarrow M_{3 \times 2} \quad T\left(\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc} a+b & c \\ d & a+c \\ b+c & b+d \end{array}\right] \end{array} \)
La base canónica de \( M_{2\times 2} \) es:
\( C=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}\right\} \)
La base canónica de \( M_{3\times 2} \) es:
\( C'=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\0&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\1&0\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&1\\\end{pmatrix}\right\} \)
La traducción de una matriz a sus coordenadas en esta base es inmediata:
\( \begin{pmatrix}x&y\\z&t\\u&v\\\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&0\\\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\\\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&0\\\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\0&0\\\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\1&0\\\end{pmatrix}+v\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&1\\\end{pmatrix}\equiv (x,y,z,t,u,v)_{C'} \)
Entonces para hallar la matriz asociada hallamos las imágenes de los vectores de la base \( C \) y los expresamos en la base \( C' \)
\( T\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0&0\\0&1+0\\0+0&0+0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\\end{pmatrix}\equiv (1,0,0,1,0,0)_{C'} \)
\( T\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+1&0\\0&0+0\\1+0&1+0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\1&1\\\end{pmatrix}\equiv (1,0,0,0,1,1)_{C'} \)
\( T\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+0&1\\0&0+1\\0+1&0+0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\\1&0\\\end{pmatrix}\equiv (0,1,0,1,1,0)_{C'} \)
\( T\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+0&0\\1&0+0\\0+0&0+1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&1\\\end{pmatrix}\equiv (0,0,1,0,0,1)_{C'} \)
La matriz buscada está formada por estas coordenadas puestas en columnas:
\( \begin{pmatrix}
1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\\\end{pmatrix} \)
Intenta el resto y pregunta las dudas que te surjan, concretándolas lo más posible e indicando que has podido hacer.
Saludos.
P.D. Te puede interesar al respecto este vídeo:
