[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Cuando el interés es compuesto continuo, la cantidad de dinero aumenta en razón proporcional a la cantidad \( S \) que hay en el instante \( t \): \( dS/dt=rS \) donde \( r \) es la tasa de interés anual.

a) Encuentre la cantidad de dinero acumulada al cabo de \( 5 \) años cuando se depositan $ \( 5 000 \) en una cuenta de ahorro que paga \( 5\displaystyle\frac{3}{4} \% \) de interés compuesto continuo.
b) ¿En cuántos años se duplicará la suma inicial depositada?
c) Use una calculadora para comparar el número obtenido en el inciso a) con el valor \( S = 5000 (1+ \displaystyle\frac{0,0575}{4})^{5(4)} \)

Este valor representa la cantidad acumulada cuando el interés se compone trimestralmente.

Lo que he hecho

Para el inciso a

Tenemos que:

\( \displaystyle\frac{dS}{dt} = rs \)

\( dS= rs dt \)

\( \displaystyle\frac{dS}{s} = r dt \)

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dS}{s}= \displaystyle\int_{}^{} r dt \)

\( ln|s| =rt +c \)

\( s = e^{rt} +c \)

No se como seguir ahora ¿Dónde  reemplazo el 5000? y para el inciso b estoy  también perdido.

Saludos

[franma]

Buenas crishchess,

El ejercicio nos cuenta que r es la tasa de interés anual. Que te la dan como dato \( r=\dfrac{15}{4} \)

Luego al llegar aqui:

\( ln|s| =rt +c \)

Y aplicar la exponencial a ambos lados obtendremos que la constante queda multiplicando:

\( \ln|s| =rt +c \)
\( s =e^{rt +c}=e^{rt}\cdot e^c \) luego llamando \( C=e^c  \)
\( s =C\cdot e^{rt} \)

Ahora sabiendo que \( r=\dfrac{15}{4} \) tenemos que:

\( s =C \cdot e^{\frac{15t}{4}} \)

Entiendo ahora que como condición inicial tenemos \( s(0)=5000 \) pues es la cantidad inicial depositada. Puedes utilizar esto para despejar C.

Para el apartado (b) te piden determinar t para que \( s(t)=2\cdot s(0)=10000 \)

Cualquier duda pregunta nuevamente.

Un saludo,
Franco.

[delmar]

Hola

La ecuación es \( S(t)=Ce^{rt} \) y luego se utiliza \( S(0)=5000 \) de ahí despeja la constante



Saludos

Se adelantó franma

[crishchess]

Buenas crishchess,

El ejercicio nos cuenta que r es la tasa de interés anual. Que te la dan como dato \( r=\dfrac{15}{4} \)

Luego al llegar aqui:

\( ln|s| =rt +c \)

Y aplicar la exponencial a ambos lados obtendremos que la constante queda multiplicando:

\( \ln|s| =rt +c \)
\( s =e^{rt +c}=e^{rt}\cdot e^c \) luego llamando \( C=e^c  \)
\( s =C\cdot e^{rt} \)

Ahora sabiendo que \( r=\dfrac{15}{4} \) tenemos que:

\( s =C \cdot e^{\frac{15t}{4}} \)

Entiendo ahora que como condición inicial tenemos \( s(0)=5000 \) pues es la cantidad inicial depositada. Puedes utilizar esto para despejar C.

Para el apartado (b) te piden determinar t para que \( s(t)=2\cdot s(0)=10000 \)

Cualquier duda pregunta nuevamente.

Un saludo,
Franco.

Muchas gracias. Solo una duda Al encontrar C corresponde al dinero acumulado?

Saludos

[franma]

Buenas crishchess,

Cuando modelamos un problema general con una EDO, generalmente aparecen estas constantes (muchas veces por cuestiones de integrar) que nos ayudan a pasar de una solución general del problema a una particular (en este caso con esa tasa de interés r).

En este caso la constante C se despeja de la siguiente manera:

\( s(0)=5000=C\cdot e^{\frac{15}{4}\cdot 0}=C  \)

Por lo que en este caso C se corresponde con el deposito inicial de dinero.

Luego el dinero acumulado viene dado por la función \( s(t)=5000 \cdot e^{\frac{15}{4}\cdot t} \)

Un saludo,
Franco.

[crishchess]

Buenas crishchess,

Cuando modelamos un problema general con una EDO, generalmente aparecen estas constantes (muchas veces por cuestiones de integrar) que nos ayudan a pasar de una solución general del problema a una particular (en este caso con esa tasa de interés r).

En este caso la constante C se despeja de la siguiente manera:

\( s(0)=5000=C\cdot e^{\frac{15}{4}\cdot 0}=C  \)

Por lo que en este caso C se corresponde con el deposito inicial de dinero.

Luego el dinero acumulado viene dado por la función \( s(t)=5000 \cdot e^{\frac{15}{4}\cdot t} \)

Un saludo,
Franco.

Muchas gracias por la aclaración. Después de escribirlo me di cuenta.


Saludos