[DaniM]

El enunciado dice así:

Si \( A_{1} = \{a_1\} \) y \( A_{2} = \{a_2\} \), describir el álgebra de Boole \( B \) más pequeña que contenga \( A_{1} \) y \( A_{2} \)

Este es un ejercicio sacado del libro Calculus de Apostol, segundo tomo y capítulo 13.

Esta es la definición de álgebra de Boole que aparece ahí:

Una clase no vacía \( X \) de subconjuntos de un conjunto universal \( S \) se llama álgebra booleana si para todo par \( A \) y \( B \) de conjuntos de \( X \) tenemos \( A\cup{B}\in{X} \) y \( A'\in{X} \), donde \( A' = S - A \)

Según el propio Apostol la solución debería ser \( B = \{ \emptyset, A_1 , A_2 , A_{1}\cup{A_2} , A'_1, A'_2, A'_1 \cap{} A'_2,  S \} \), pero a mí me faltan cuatro elementos más en \( B \): \( A_1 \cup{A'_2} \), \( (A_1 \cup{A'_2})' \), \( A'_1 \cup{A_2} \) y \( (A'_1 \cup{A_2})' \). Mi argumento es que como \( A'_2\in{B} \), entonces por definición \( A_1 \cup{A'_2}\in{B} \), y en consecuencia \( (A_1 \cup{A'_2})' \in{B} \). Y como \( A'_1\in{B} \), entonces por definición \( A'_1 \cup{A_2}\in{B} \), y en consecuencia \( (A'_1 \cup{A_2})' \in{B} \).

¿Qué falla aquí?

[geómetracat]

Lo que sucede es que si \[ A_1=\{a_1\}, A_2=\{a_2\} \] (supongo que con \[ a_1 \neq a_2 \]), entonces \[ A_1\cup A_2'=\{a_1\} \cup (S \setminus \{a_2\})=S \setminus \{a_2\}=A_2' \], por lo que ya está incluido. Algo similar pasa para los otros conjuntos que pones.

[Luis Fuentes]

Hola

El enunciado dice así:

Si \( A_{1} = \{a_1\} \) y \( A_{2} = \{a_2\} \), describir el álgebra de Boole \( B \) más pequeña que contenga \( A_{1} \) y \( A_{2} \)

Este es un ejercicio sacado del libro Calculus de Apostol, segundo tomo y capítulo 13.

Esta es la definición de álgebra de Boole que aparece ahí:

Una clase no vacía \( X \) de subconjuntos de un conjunto universal \( S \) se llama álgebra booleana si para todo par \( A \) y \( B \) de conjuntos de \( X \) tenemos \( A\cup{B} \) y \( A'\in{X} \), donde \( A' = S - A \)

Según el propio Apostol la solución debería ser \( B = \{ \emptyset, A_1 , A_2 , A_{1}\cup{A_2} , A'_1, A'_2, A'_1 \cap{} A'_2,  S \} \), pero a mí me faltan cuatro elementos más en \( B \): \( A_1 \cup{A'_2} \), \( (A_1 \cup{A'_2})' \), \( A'_1 \cup{A_2} \) y \( (A'_1 \cup{A_2})' \). Mi argumento es que como \( A'_2\in{B} \), entonces por definición \( A_1 \cup{A'_2}\in{B} \), y en consecuencia \( (A_1 \cup{A'_2})' \in{B} \). Y como \( A'_1\in{B} \), entonces por definición \( A'_1 \cup{A_2}\in{B} \), y en consecuencia \( (A'_1 \cup{A_2})' \in{B} \).

Dado que \( A_1\cap A_2=\emptyset \) entonces \( A_1\subset A_2' \) y \( A_2\subset A_1' \). Por tanto:

\( A_1\cup A'_2=A'_2 \)
\( A'_1 \cup{A_2}=A'_1 \)

Saludos.

P.D: Se adelantó geómetracat.

[DaniM]

¡Ah, ya veo! Había perdido de vista los elementos que conforman los conjuntos \( A_1 \) y \( A_2 \) y estaba tratándolos como si no supiéramos nada sobre ellos. 😅

Muchas gracias Geómetracat y Luis Fuentes por la ayuda. 

[manooooh]

Hola

Perdonen mi ignorancia, pero ¿no es que el álgebra de Boole más pequeña con 2 elementos es la formada por un elemento abajo y uno arriba? Con un diagrama de Hasse sería:

\( a_2 \)                      \( a_1 \)
  |       o bien        |
  |                          |
\( a_1 \)                      \( a_2 \)

Estas dos conforman una red distributiva y complementada i.e. un álgebra de Boole.

Si la relación fuera la inclusión y \( A_1=\{\emptyset\},\,A_2=\{\{1\}\} \) luego \( {\subseteq}=\{(\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\{1\}),(\{1\},\{1\})\} \). ¿O hay una más pequeña?

¿O es que los conjuntos \( A_1 \) y \( A_2 \) son AB en sí mismos? En ese caso mi ejemplo no cumpliría que \( \{\emptyset\} \) sea un AB.

Saludos

[geómetracat]

Perdonen mi ignorancia, pero ¿no es que el álgebra de Boole más pequeña con 2 elementos es la formada por un elemento abajo y uno arriba? Con un diagrama de Hasse sería:

\( a_2 \)                      \( a_1 \)
  |       o bien        |
  |                          |
\( a_1 \)                      \( a_2 \)

Estas dos conforman una red distributiva y complementada i.e. un álgebra de Boole.

Sí. Pero el problema de DaniM no es encontrar el álgebra de Boole más pequeña con dos elementos.
El problema de DaniM es, dado un conjunto \[ S \] y dos elementos \[ a_1,a_2\in S \], encontrar la subálgebra de Boole de \[ P(S) \] más pequeña que contiene a \[ A_1=\{a_1\} \] y \[ A_2=\{a_2\} \].

Esto es bastante distinto de encontrar el álgebra de Boole (en abstracto) más pequeña con dos elementos. Por ejemplo, cualquier subálgebra de \[ P(S) \] tiene que contener a \[ \emptyset \] y a \[ S \]. Por tanto, ni \[ A_1 \] ni \[ A_2 \] pueden ser el elemento mínimo (ni el máximo) de una subálgebra de Boole de \[ P(S) \] que los contenga, lo que ya descarta que la subálgebra buscada tenga dos elementos.