Este ejercicio resulto no aprobado en una evaluacion quiesiera que me ayudaran y en su posibilidad se revise para tener una idea que fue lo que salio mal. gracias de ante mano a todos por su ayuda.
Pruebe que $$\sqrt{3}$$ ,$$\sqrt{5}$$ y $$\sqrt{3} + \sqrt{5}$$ pertenecen a $$R\setminus Q$$.
Supongamos que $$\sqrt{3}$$ es racional entonces se puede escribir como la razón de dos números naturales primos entres si, sin factores comunes esto nos lleva a que: \\
$$\sqrt{3}=\frac{p}{q}$$, $$p$$ y $$q$$ enteros positivos y primos entre si, $$\Rightarrow p=\sqrt{3}q \Rightarrow p^{2}=3q^{2}~~(1)$$
de (1) se deduce que $$p^{2}$$ es múltiplo de tres, y de este ultimo que $$p$$ a su vez es múltiplo de $$3 ~~(2)$$ es decir $$p$$ es de la forma \\
$$p=3k, k \in N~~(3)$$
$$\Rightarrow~~~~~ (3k)^2=3q^{2}~~~~~\{ (3) en (1) \}$$
$$\Rightarrow~~~~~~9k^{2}=3q^{2} \Rightarrow 3k^{2}=q^{2}$$;
$$q^{2} ~es~ multiplo ~de~ 3~ y~ por ~ende$$ \\
$$q~ es~ multiplo~ 3~~~ (4)$$
De (3) y (4) se tiene que $$p$$ y $$q$$ tiene a tres como factor común. Lo anterior contradice la hipótesis; por lo tanto, se concluye $\sqrt{3}$ no es de la forma $$\frac{p}{q}$$, es decir $$\sqrt{3}$$ es Irracional.
Supongamos que $$\sqrt{5}$$ es racional entonces se puede escribir como la razón de dos números naturales primos entres si, sin factores comunes esto nos lleva a que:
$$\sqrt{5}=\frac{p}{q}$, $p$$ y $$q$$ enteros positivos y primos entre si, $$\Rightarrow p=\sqrt{5}q \Rightarrow p^{2}=5q^{2}~~(1)$$
de (1) se deduce que $$p^{2}$$ es múltiplo de $$5$$, y de este ultimo que $$p$$ a su vez es múltiplo de $$5 ~~(2)$$ es decir $$p$$ es de la forma
$$p=5k, k \in N~~(3)$$
$$\Rightarrow~~~~~ (5k)^2=5q^{2}\{ (3) en (1) \}$$\\
$$\Rightarrow~~~~~~25k^{2}=5q^{2} \Rightarrow 5k^{2}=q^{2}$$
$$q^{2}~ es~ multiplo~ de~ 5~ y~ por~ ende$$
$$q ~es~ multiplo~ 5~~~ (4)$$
De (3) y (4) se tiene que $$p$$ y $$q$$ tiene a $$5$$ como factor común. Lo anterior contradice la hipótesis; por lo tanto, se concluye $$\sqrt{5}$$ no es de la forma $$\frac{p}{q}$$, es decir $$\sqrt{5}$$ es Irracional.
Ya se demostró que $$\sqrt{5}$$ y $$\sqrt{3}$$ son numeros iracionales ahora demostraremos que su suma es un numero irracional. Por lo tanto suponemos que la suma de $$\sqrt{5}$$ y $$\sqrt{3}$$ es un numero racional, entonces si tanto $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ como $$\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ son racionales, tenemos que $$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\frac{p_{1}}{q_{1}}$$ y $$\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{p_{2}}{q_{2}}$$, donde $$p_{1},p_{2} \in Z$$ y $$q_{1},q_{2} \in Z \setminus \{0\}$$ Por lo tanto,
$$
\sqrt{3}=\dfrac{\frac{p_{1}}{q_{1}}+\frac{p_{2}}{q_{2}}}{2}=\dfrac{p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1}}{2q_{1}q_{2}}, \sqrt{5}=\dfrac{\frac{p_{1}}{q_{1}}-\frac{p_{2}}{q_{2}}}{2}=\dfrac{p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}}{2q_{1}q_{2}}
$$
Luego, tenemos que $$p_{1}q_{2} + p_{2}q_{1} \in Z$$, mientras que $$2q_{1}q_{2} \in Z \setminus \{0\}$$, lo que contradice el hecho que $$\sqrt{3}$$ y $$\sqrt{5}$$ son irracionales. Así, o bien $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ es irracional o bien $$\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ es irracional inclusive.
