$$\def\Z{\mathbb{Z}}\newcommand{\GeneratedBy}[1]{\left\langle #1\right\rangle}\newcommand{\Abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$$El ejercicio 2.54-(ii) de
An Introduction to the Theory of Groups de Rotman dice lo siguiente:
Let $$G$$ be a finite group, and let $$H$$ be a normal subgroup with $$(|H|,[G:H]) = 1$$. Prove that $$H$$ is the unique such subgroup in $$G$$. (Hint: If $$K$$ is another such group, what happens to $$K$$ in $$G/H$$).En la forma que me es más natural entender el enunciado, resulta ser claramente falso: si $$K\mathrel{\unlhd} G$$ también cumple $$(|K|,[G:K]) = 1$$, no necesariamente $$K = H$$. He aquí un contraejemplo muy simple: si
$$G = \Z_2\oplus\Z_3 \cong \Z_6$$,
entonces
$$(\Abs{\Z_2}, [G:\Z_2]) = \left(2, \frac{6}{2}\right) = (2,3) = 1\qquad\text{y}\qquad (\Abs{\Z_3}, [G:\Z_3]) = \left(3, \frac{6}{3}\right) = (3,2) = 1$$.
Sin embargo, antes de darme cuenta de que el enunciado era falso según lo estaba interpretando, hice algunos intentos que me llevaron a un resultado que puede ser la forma correcta de entender el ejercicio:
Si $$H$$ es como se indica en el ejercicio y $$K$$ es un subgrupo de $$G$$ tal que $$(|K|, {\color{blue}[G:H]}) = 1$$, entonces $$K = H$$.Demostración: Si $$\pi: G\rightarrow G/H$$ es la proyección canónica (el epimorfismo $$g\mapsto gH$$), entonces $$\pi(K)$$ es subgrupo de $$G/H$$ y por tanto $$\pi(K)$$ divide a $$\Abs{G/H} = [G:H]$$, pero como también divide a $$\Abs K$$, la condición $$(\Abs K, [G:H]) = 1$$ nos lleva a concluir que $$\Abs{\pi(K)} = 1$$, luego $$\pi(K) = 1_{G/H} = H$$ y por tanto $$K = H$$.
¿Ven bien esta demostración? De ser así, ¿creen que es ése el enunciado que, de forma un tanto ambigua, quiso expresar el autor en ese ejercicio?
Saludos.
