Hola , si ese segundo enunciado sirve para tu tu pregunta , el angulo inicial lo sacas como te hemos indicado
si \( \tan \alpha=\dfrac{v_{oy}}{v_{ox}} \)
aplicas arcotangente a ambos lados de la igualdad y tienes que
\( \alpha=\arctan\left(\dfrac{v_{oy}}{v_{ox}}\right) \)
ese es el ángulo respecto de la horizontal,
Pero vayamos un poco mas profundo , tanto la velocidad como la posición y la aceleración son magnitudes físicas vectoriales, y por simplicidad de presentación se pueden aplicar las ecuaciones diferenciales a cada componente, una en dirección x horizontal y otra en y vertical
lo primero que tienes que hacer es montar un sistema de referencia, para saber en que sentido apuntan tus vectores, esto define el signo con el que aparecen en la ecuación diferencial.
si la ecuación en el eje y es
\( \dfrac{dy}{dt}=v_{oy}+at \)
tienes que prestar atención a que los signos de la velocidad y la aceleración en esa ecuación son positivos, pero si el lanzamiento es hacia arriba como sucede normalmente en el baseball o el tiro de la pelota entonces la velocidad en y tiene sentido hacia arriba y la aceleracion \( a \) de la gravedad es hacia abajo luego el valor que usas como a en esa ecuación es -9.81m/s^2
rebobinando la historia esto es solo cierto si esa aceleracion es constante con la altura, que es una buena simplificación de la realidad, así que la primera ecuación diferencial a resolver es la que ya te han presentado
\( \dfrac{d^2y}{dt^2}=\dfrac{dv}{dt}=a \)
si a es constante con el tiempo y la posición, pasa de mimbro el diferencial y aplicas integración en ambos miembros
\( \displaystyle \int_{V_{oy}}^{V_y}dv=\int_{to}^t a dt \)
si a tiempo 0 la velocidad es \( v_{oy} \)
la integral se resuelve
\( \displaystyle{ v\vert _{V_oy}^{V_y}=at\vert_{0}^t} \)
\( v_y-v_{oy}=at \)
\( v_y=v_{oy}+at \)
que es tu primer ecuación
bueno ahora viene la segunda
\( \dfrac{dy}{dt}=v_y=v_{oy}+at \)
resolviendo la ED y aplicando las condiciones de contorno
\( \displaystyle \int_{Y_{o}}^{Y}dy=\int_{to}^t (v_{oy}+at) dt \)
si a tiempo 0 la altura es \( y_o \) sea 5 m o lo que fuera
la integral se resuelve
\( \displaystyle{ y\vert _{Y_o}^{Y}=(v_{oy}t+\dfrac12at^2)\vert_{0}^t} \)
\( \displaystyle{ y-y_o=v_{oy}t+\dfrac12at^2} \)
\( \displaystyle{ y=y_o+v_{oy}t+\dfrac12at^2} \)
como en la direccion x no hay aceleracion la velocidad es constante y la ecuación e la posición queda
\( \displaystyle \int_{X_{o}}^{X}dx=\int_{to}^t v_{ox} dt \)
si a tiempo 0 la velocidad es \( v_{ox} \)
la integral se resuelve
\( \displaystyle{ x\vert _{x_o}^{x}=v_{ox}t\vert_{0}^t} \)
\( x-x_{o}=v_{ox}t \)
\( x=x_o+v_{ox}t \)
supongamos el primer enunciado que la pelota parte de una altura de 5 m con velocidad de 360m/s con un ángulo \( \alpha \) cualquiera sea este,
como \( \alpha \) no se especifica dejamos el resultado en función de este
así \( \vec X(t)=(x(t),y(t))=(x_o+v_{ox}t\, ,\, y_o+v_{oy}t+\dfrac12at^2) \)
sabiendo que \( x_o=0 \)
\( y_0= 5m \)
\( v_{ox}=v\cos\alpha \)
\( v_{oy}=v\sin\alpha \)
\( a=-9.81m/s^2 \)
reemplazando te queda que
\( \vec X(t)=(x(t),y(t))=(360\cos(\alpha)\, t\, ,\, 5+360\sin(\alpha)\, t-\dfrac12 \, 9.81t^2) \)
cuando te den el ángulo de lanzamiento podrás saber la posición a cada instante
Saludos
