$$\def\Q{\mathbb{Q}}\def\Z{\mathbb{Z}}$$El problema III.1.18 del libro
Algebra de Hungerford dice lo siguiente:
Sea $$\Q$$ el cuerpo de los números racionales y $$R$$ un anillo cualquiera. Si $$f,g:\Q\rightarrow R$$ son homomorfismos de anillos tales que $$f|_\Z = g|_\Z$$, entonces $$f = g$$. [Sugerencia: demostrar que para $$n\in\Z\ (n\neq 0)$$, $$f(1/n)g(n) = g(1)$$ y por lo tanto $$f(1/n) = g(1/n)$$].
Demostrar lo que se indica en la sugerencia es muy fácil: puesto que $$f(n) = g(n)$$ para todo entero $$n$$, tenemos que, cuando $$n\neq 0$$,
$$ f\left( \frac{1}{n} \right)g(n) = f\left(\frac{1}{n}\right)f(n) = f\left(\frac{n}{n}\right) = f(1) = g(1). $$
Sin embargo, encuentro problemas para ver por qué, en consecuencia, debemos tener $$f(1/n) = g(1/n)$$, ya que no estamos asumiendo que $$R$$ es unitario ni que se trata de homomorfismos de anillos unitarios.
Actualización: Ya lo tengo:
Spoiler
Basta multiplicar $$ f\left( \frac{1}{n} \right)g(n) = g(1) $$ por $$g\left( \frac{1}{n} \right)$$ por la derecha. Jeje.
