[Jozy]

Hola alguien sabra como puedo trabajar esta transformacion lineal
b) $$f: R^{3} \rightarrow R^{3}$$ tal que
$$
\begin{array}{l}
f(-2,3,1)=(0,1,2), f(1,1,1)=(-3,5,2), f(0,0,1)=(1,0,1) \\
B=\{(-2,3,1),(1,1,1),(0,0,1)\} \quad B^{\prime}=\{(1,2,0),(0,1,2),(0,0,3)\}
\end{array}
$$

[manooooh]

Hola

Hola alguien sabra como puedo trabajar esta transformacion lineal
b) $$f: R^{3} \rightarrow R^{3}$$ tal que
$$
\begin{array}{l}
f(-2,3,1)=(0,1,2), f(1,1,1)=(-3,5,2), f(0,0,1)=(1,0,1) \\
B=\{(-2,3,1),(1,1,1),(0,0,1)\} \quad B^{\prime}=\{(1,2,0),(0,1,2),(0,0,3)\}
\end{array}
$$

¿Cuál es la pregunta?

Saludos

[delmar]

Hola

No esta muy bien enunciado el problema, B y B' son bases de \( R^3 \), la transformación lineal f esta definida, considerando la base B; supongo que la interrogante ha de ser ¿como se define f considerando la base B'?. Para ello se ha de obtener las componentes respecto a la base B de cada vector de B' y luego utilizar la condición de linealidad para obtener el valor de f para cada vector de B'

Ejemplifico con un vector de B' el primero :

\( c_1\begin{pmatrix}{-2}\\{3}\\{1}\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{0}\end{pmatrix} \) donde \( c_1,c_2,c_3 \) son las componentes del primer vector respecto a la base B, esto equivale a resolver el sistema :

\( -2c_1+c_2=1 \)

\( 3c_1+c_2=2 \)

\( c_1+c_2+c_3=0 \)

Resolviendo se tiene : \( c_1=1/5 \ ,c_2=7/5, \ c_3=-8/5 \)

\( f((1,2,0))=f((1/5)(-2,3,1)+(7/5)(1,1,1)-(8/5)(0,0,1))=(1/5)f((-2,3,1))+(7/5)f((1,1,1))-(8/5)f((0,0,1))= \)

Suponiendo que las imágenes de los vectores de la base B se corresponden con vectores de la base canónica

\( =(1/5)(0,1,2)+(7/5)(-3,5,2)-(8/5)(1,0,1)=(-29/5,36/5,8/5) \)

De manera parecida con los otros vectores de B'

Saludos

[zorropardo]

Hola, si la pregunta fuese : determinar la funcion lineal $$f(x,y,z)$$
Procederia de la  siguiente forma:
Cualquier elemento del espacio tridimensinal lo puedo escribir como combinacion lineal de la base asi

\begin{equation}
(x,y,z)=\alpha (-2,3,1)+\beta(1,1,1)+\gamma(0,0,1)
\end{equation}
luego tenemos el sistema de ecuaciones

$$ x=-2\alpha+\beta  \qquad ; \qquad y= 3\alpha +\beta \qquad ; \qquad  z=\alpha +\beta+\gamma$$

resolviendo obtenemos

$$\alpha= \frac{y-x}{5} \qquad  ; \qquad \beta=\frac{2y+3x}{5} \qquad ; \qquad \gamma=\frac{5z-3y-2x}{5}.$$


 Por otro lado en la  ecuacion $$(1)$$ aplicando  la funcion $$f$$ que es lineal y las hipotesis tenemos


$$f(x,y,z)=(-3\beta+\gamma,\alpha+5\beta,2\alpha+2\beta+\gamma),$$

Finalmente, sustituyendo los valores $$\alpha, \beta $$ e $$\gamma$$ tendremos

$$f(x,y,z)=\frac{1}{5}(-11x-9y+5z,14x+11y,2x+3y+5z)$$