[Quema]

Hola si tengo una función real \( g \) y una función de densidad \( f \) con soporte en \( [-b,b] \).

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)f(x)dx=g(b)-\displaystyle\int_{-b}^{b}g^{\prime}(x)F(x)dx=g(b)-g^{\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}F(x)dx+\displaystyle\int_{-b}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx \),

ahora esta última expresión puedo expresarla de la siguiente forma:

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx \)=\( \displaystyle\int_{-b}^{0}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx+\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx=\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx+\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(-x)[\displaystyle\int_{-b}^{-x}F(t)dt]dx \)

No se si todo esto es correcto.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Todo correcto. 

Saludos.

[Quema]

Hola

entonces, suponiendo que \( g^{\prime\prime}(x)=-g^{\prime\prime}(-x) \)
\( \int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt]dx+\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(-x)[\displaystyle\int_{-b}^{-x}F(t)dt]dx=\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt-\displaystyle\int_{-b}^{-x}F(t)dt]dx \).

Ahora \( \displaystyle\int_{-b}^{x}F(t)dt-\displaystyle\int_{-b}^{-x}F(t)dt=\displaystyle\int_{-x}^{x}F(t)dt=\displaystyle\int_{0}^{x}[F(t)+F(-t)]dt \), cierto?

Por tanto,

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)f(x)dx=g(b)-g^{\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}F(t)dt+\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{0}^{x}[F(t)+F(-t)]dt]dx \)

Por lo tanto, si tengo dos funciones de distribución acumuladas con la misma media \( F,H \)que cumplen:

\( F(x)+F(-x)<H(x)-H(-x) \) para \( x\geq{}0 \) y además \( g^{\prime\prime}(x)\leq{}0 \) entonces

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx\geq{}0 \)

Cierto?

[Luis Fuentes]

Hola

Por lo tanto, si tengo dos funciones de distribución acumuladas con la misma media \( F,H \)que cumplen:

\( F(x)+F(-x)<H(x)-H(-x) \) para \( x\geq{}0 \) y además \( g^{\prime\prime}(x)\leq{}0 \) entonces

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx\geq{}0 \)

Cierto?

Este último paso no lo veo claro.

Saludos.

[Quema]

Hola

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx= \)\( g(b)-g^{\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}F(t)dt+\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{0}^{x}[F(t)+F(-t)]dt]dx \)-\( g(b)+g^{\prime}(b)\displaystyle\int_{-b}^{b}H(t)dt-\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{0}^{x}[H(t)+H(-t)]dt]dx \).
Ahora como las dos variables tienen la misma media, entonces
\( \displaystyle\int_{-b}^{b}F(t)dt=\displaystyle\int_{-b}^{b}H(t)dt \)


\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx= \)\( \displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{0}^{x}[F(t)+F(-t)]dt]dx-\displaystyle\int_{0}^{b}g^{\prime\prime}(x)[\displaystyle\int_{0}^{x}[H(t)+H(-t)]dt]dx \)

Como \( F(x)+F(-x)<H(x)+H(-x) \) para \( x\geq{}0 \) y son integrables entonces \( \displaystyle\int_{0}^{x}[F(t)+F(-t)]dt\leq{}\displaystyle\int_{0}^{x}[H(t)+H(-t)]dt \) y además \( g^{\prime\prime}(x)\leq{}0 \)para \( x\geq{}0 \)

entonces
\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx\geq{}0 \)

Están bien estos pasos

Gracias
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 OK. Ya lo veo. Si, creo que está bien.

Saludos.

[Quema]

Hola

Una cosa, esto se cumple \( \Longleftrightarrow{} \) o solamente \( \Rightarrow{} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Exactamente ¿como enunciarías el recíproco?.

 Por ejemplo, si tienes dos dsitribuciones \( F,H \) con la misma media y una función \( g(x) \) verificando \( g''(x)\leq 0 \) y:

\( \displaystyle\int_{-b}^{b}g(x)[f(x)-h(x)]dx\geq{}0 \)

 De ahí no puede deducirse que:

\( F(x)+F(-x)<H(x)-H(-x) \) para \( x\geq 0 \).

Saludos.