Lo siguiente trata sobre conjuntos cero y sus propiedades. Sea $$n ≥ 1$$ siempre.
1) Demuestre que un conjunto no vacío, acotado y abierto en el $$\mathbb{R^n}$$ siempre tiene una medida de Lebesgue mayor a $$0$$
Mi respuesta:
Por definicion la medida de Lebesgue siempre es igual a el espacio en el que nos encontramos y como $$n$$ es mayor a $$1$$ siempre, nuestra medida de Lebesgue en este caso tiene que ser mayor a 0. (Tiene sentido?)
No, no tiene sentido. Hay muchos conjuntos nulos en \( \mathbb{R}^n \). Te piden una demostración de una proposición, para eso debes utilizar teoremas conocidos y demostrar que la medida de Lebesgue de un conjunto abierto, no vacío y acotado no es nula. Es decir si \( A \) es abierto, acotado y no vacío tienes que demostrar que \( \lambda _n(A)>0 \), donde \( \lambda _n \) es la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^n \).
2)
Usando la respuesta de 1), demuestre que un conjunto nulo $$N$$, con respecto a la medida de Lebesgue, no tiene puntos interiores. Significa: El interior $$\circ{N}$$ de $$N$$ esta vacio.
La verdad es que aqui no estoy seguro de lo que me estan pidiendo.
Aquí te piden demostrar que si \( \lambda _n(N)=0 \) entonces \( \operatorname{int}(N)=\emptyset \), donde \( \operatorname{int}(N) \) es el interior de \( N \), es decir, el conjunto de puntos interiores de \( N \), o lo que es equivalente, el abierto más grande contenido en \( N \). Si tienes duda repasa el significado de "punto interior de un conjunto".
Creo que hay una definición que dice que si $$N$$ tiene medida/ se puede medir y tiene volumen 0, entonces N es un conjunto nulo. Pero que N sea un conjunto nulo no significa que no este vacio, o si?
Si no tienes claros estos conceptos tan básicos debes repasar la teoría. Un ejemplo, a ver si te aclaras, ¿cuál es la medida de Lebesgue del subconjunto \( \{5\} \) de \( \mathbb{R} \)?
3) Demuestre que cada función continua $$f:\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{C}}$$ con la propiedad \left\|{f}\right\|_1 = 0 es la "cero function"
Creo que la tres es gracias a la definicion de la seminorma. La norma es la raiz del cuadrado de sus argumentos. Y como el cuadrado siempre es positivo, la norma siempre tiene que ser mayor a 0.
Y si la funcion no tiene norma, pues tiene que ser 0 constantemente.
No necesariamente, la función indicatriz \( f(x):=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) \) cumple que \( \|f\|_1=0 \), pero no es la función cero. Lo que sí ocurre es que \( f \) es cero casi en todas partes, o lo que es lo mismo, pertenece a la clase de equivalencia definida en el espacio \( L^1(\lambda _1) \) de la función cero, donde \( \lambda _1 \) es la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R} \).
Mis pasos son comprensibles?
La 2) creo que no le he entendido bien.
Saludos
Ni el 2) ni ningún otro de los apartados. Antes de intentar resolver un ejercicio tienes que saberte bien todas las definiciones y teoremas de la teoría asociada. Empieza por ahí, y luego inténtalo de nuevo.
