En la página 107 del libro Abstract Algebra de Pierre Antoine Grillet, se encuentra la afirmación siguiente:
If $$R$$ and $$S$$ are rings with identity, a homomorphism of rings with identity of $$R$$ into $$S$$ also preserves the identity element: $$\phi(1) = 1$$.
Quizá haya algo que no esté viendo en ese párrafo, por que lo que entiendo de él es que, en general, los homomorfismos entre anillos unitarios (anillos con identidad multiplicativa) preservan la identidad, lo cual parece ser falso. El contraejemplo que se me ha ocurrido es éste: si $$A$$ es cualquier anillo unitario, la aplicación $$\phi: A\rightarrow A\times A$$ (con $$A\times A$$ el anillo producto definido de la forma usual) dada por $$a\mapsto (a,0)$$ es un homomorfismo inyectivo entre anillos unitarios con $$\phi(a) = (1,0)$$, luego $$\phi$$ no preserva identidades, pues la de $$A\times A$$ es $$(1,1)$$, ¿cierto? De ser así, no sé si se trata de una errata del libro, o si haya algo que no estoy considerando. A mí me llama la atención la aparente redundancia del enunciado: comienza diciendo que $$R$$ y $$S$$ son unitarios ("If $$R$$ and $$S$$ are rings with identity..."), luego repite esta cualificación al decir "a homomorphism of rings with identity". ¿Radica en esto un detalle que hace cierta a la afirmación del libro? Por ejemplo, si se refiere a que la imagen del homomorfismo contiene a la identidad de $$S$$, entonces la afirmación es cierta, pues en ese caso existe un $$r\in R$$ tal que $$\phi(r) = 1_S$$, y así $$1_S = \phi(r) = \phi(r\cdot 1_R) = \phi(r)\phi(1_R) = 1_S\cdot\phi(1_S) = \phi(1_S)$$.
Como soy un completo amateur en esto de las matemáticas, no tengo absoluta certeza de que no se me esté escapando algo. Agradecería cualquier comentario al respecto.
Saludos.
