Hola,
Quiero probar que para un sistema autónomo la estabilidad y la atractividad es lo mismo que la estabilidad uniforme y la atractividad uniforme. Un sistema autónomo es de la forma \( y'=f(y) \).
Notación: \( \phi(.;t_0,y_0) \) es la solución maximal del problema de Cauchy en \( (t_0,y_0) \), e \( I(t_0,y_0) \) es su intervalo de definición
Hemos probado que \( I(t_0,y_0)=t_0+I(0,y_0) \) y \( \phi(t;t_0,y_0)=\phi(t-t_0;0,y_0) \) y según los apuntes con esta propiedad se debería poder deducir.
Intento ver la estabilidad primero, asi que suponemos que tenemos un sistema autónomo estable.
Esto significa que \( \forall{}t_0\in{}I \) y \( \epsilon>0 \) se tiene que existe \( \delta*=\delta(t_0,\epsilon)>0 \) tal que si \( \left |{y_0}\right |\leq{}\delta* \) entonces:
1)\( I(t_0,y_0)\supseteq{}[0,\infty) \)
2)\( \left |{\phi(t;t_0,y_0)}\right |\leq{}\epsilon, \forall{}t\in{}[t_0,\infty) \)
i)Entonces lo que quiero probar es que \( \delta* \) no depende de \( t_0 \).
Lo que sé por la propiedad mencionada anteriormente es que si \( \left |{y_0}\right |\leq{}\delta* \):
1*)\( t_0+I(0,y_0)\supseteq{}[0,\infty) \)
2*)\( \left |{\phi(t-t_0;0,y_0)}\right |\leq{}\epsilon, *\forall{}t\in{}[0,\infty)* \) Lo marcado entre asteriscos no estoy seguro si debería ser así o \( [t_0,\infty) \)
Lo único que se me ocurre para probar i) es tomar otro \( t_1\neq t_0 \) y ver que \( \delta*=\delta(t_1,\epsilon) \)
Entonces como el sistema es estable tengo que:
ii)\( I(t_1,y_0)\supseteq{}[0,\infty) \)
iii)\( \left |{\phi(t;t_1,y_0)}\right |\leq{}\epsilon, \forall{}t\in{}[t_1,\infty) \)
Pero no estoy seguro de que me ayude. Agradezco que me den alguna indicación de como seguir para intentar demostralo yo.
Un saludo.
