[ochamparini]

Hola quisiera saber porque son equivalentes, no logro comprender porque en una es total y en la otra parcial. Gracias!
El volumen es fijo.

"El término derivada temporal puede ser escrito en su forma equivalente

\( \displaystyle{
\frac{d}{dt}\left(\underset{\mathrm{VC}}{\iiint} \beta \rho dV\right)=\underset{\mathrm{VC}}{\iiint} \frac{\partial}{\partial t}(\beta \rho) dV
} \)

para un volumen de control fijo, ya que los elementos de volumen no varían con el tiempo."

Moderación: sustituida imagen por texto y \( \LaTeX \).

[Masacroso]

Hola quisiera saber porque son equivalentes, no logro comprender porque en una es total y en la otra parcial. Gracias!
El volumen es fijo.

"El término derivada temporal puede ser escrito en su forma equivalente

\( \displaystyle{
\frac{d}{dt}\left(\underset{\mathrm{VC}}{\iiint} \beta \rho dV\right)=\underset{\mathrm{VC}}{\iiint} \frac{\partial}{\partial t}(\beta \rho) dV
} \)

para un volumen de control fijo, ya que los elementos de volumen no varían con el tiempo."

Moderación: sustituida imagen por texto y \( \LaTeX \).

Bienvenido al foro ochamparini. Las matemáticas en el foro se deben escribir utilizando \( \LaTeX \). Por esta vez te lo he corregido, pero para la próxima debes escribirlas usando \( \LaTeX \), tienes un tutorial de cómo hacerlo aquí. También, cuando tengas tiempo, deberías mirar las demás reglas del foro, recogidas aquí.

El caso por el que preguntas es una aplicación de la regla de Leibniz para derivar una integral. Si tienes un integrando continuamente diferenciable \( f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m} \) y una integral en una región convexa y compacta \( A\subset \mathbb{R}^{n} \), entonces se cumple que

\( \displaystyle{
\frac{d}{dt}\int_A f(t,s)ds=\int_A \frac{\partial}{\partial t}f(t,s)ds
} \)

Aquí tienes una explicación detallada.

Añado: el enlace anterior parece ser una traducción de una página de la wikipedia inglesa, que no es la mejor fuente para entender un concepto matemático, pero he encontrado este PDF donde la regla integral de Leibniz está mucho mejor expuesta.

[delmar]

Hola ochamparini

Bienvenido al foro

Es conveniente que antes de postear leas las reglas del foro, los enunciados de los problemas se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX, de esa manera nos entendemos mejor

Respecto al problema se trata de aplicar la definición de derivada, el integral que se ve es función del tiempo, y el volumen de control es el mismo, aplicando la definición de derivada :

\( \displaystyle\frac{d}{dt}(\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{} \ \beta \rho \ dV)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{} \ (\beta \rho)(t+h) \ dV-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{} \ ( \beta \rho \ )(t) dV}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{}((\beta \rho)(t+h)-(\beta \rho)(t)) \ \  dV}{h}} \) por la linealidad de los integrales con el mismo dominio, considerando que el integrando es derivable respecto a t aplicando el valor medio de la derivada se llega :

\( \displaystyle\frac{d}{dt}(\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{} \ \beta \rho \ dV)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{}\displaystyle\frac{(\beta \ \rho)'(c(h))h}{h} \ dV}=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{V}^{}\displaystyle\int_{C}^{}(\beta \rho)'(t) \ dV \)

Donde \( t<c(h)<t+h \) esto implica  \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{c(h)}=t \) y por continuidad de las derivadas se llega a la expresión final

Obviamente hay condiciones para las funciones integrando y para el volumen de control que ya menciono Masacroso

Saludos

[ochamparini]

Entendido. Gracias a ambos y pido disculpas por la forma en la que publiqué. La próxima estaré muy atento a las reglas del foro. Gracias nuevamente