[Chocolate]

Buenas,

no se si entiendo bien el enunciado.

Tenemos la integral $$\displaystyle\int_{0}^{\infty}Sin(y)/y$$.
Creo que simplemente debo demostrar que la integral esta definida, pero la estructura de la frase me hace pensar que debo demostrar que es impropia.

Bueno, en caso que deba demostrar que la integral esta definida creo que debemos observar el caso $$y=0$$ , porque estamos dividiendo con 0.


Supongo que hay que demostrar que el caso $$y = 0$$ existe
Yo diria que L´hopital seria lo mas efectivo en este caso, para demostrar que $$sin(y)/(y)$$ con $$ y\rightarrow{0}$$ existe.

Ahora creo que debo demostrar que la función es continua, pero no estoy seguro como. Ademas no se s hice trampa usando l´hopital jaja

Alguien me podria decir si he entendido bien el enunciado, y como proceder a partir de aqui?

Saludos 

[Masacroso]

Buenas,

no se si entiendo bien el enunciado.

Tenemos la integral $$\displaystyle\int_{0}^{\infty}Sin(y)/y$$.
Creo que simplemente debo demostrar que la integral esta definida, pero la estructura de la frase me hace pensar que debo demostrar que es impropia.

Bueno, en caso que deba demostrar que la integral esta definida creo que debemos observar el caso $$y=0$$ , porque estamos dividiendo con 0.

No se puede dividir por cero por lo que se debe considerar que la integral es impropia en el cero.

Supongo que hay que demostrar que el caso $$y = 0$$ existe

No hace falta, hay integrales impropias en donde la función no está definida en el extremo, por ejemplo la integral \( \int_{0}^1 \frac1{\sqrt{x}}dx=2 \). Lo que te están pidiendo es demostrar que la integral impropia \( \int_{0}^\infty \frac{\operatorname{sen} x}{x}dx \) existe, es decir, que tiene un valor definido.

[Chocolate]

Buenas,

no se si entiendo bien el enunciado.

Tenemos la integral $$\displaystyle\int_{0}^{\infty}Sin(y)/y$$.
Creo que simplemente debo demostrar que la integral esta definida, pero la estructura de la frase me hace pensar que debo demostrar que es impropia.

Bueno, en caso que deba demostrar que la integral esta definida creo que debemos observar el caso $$y=0$$ , porque estamos dividiendo con 0.

No se puede dividir por cero por lo que se debe considerar que la integral es impropia en el cero.

Supongo que hay que demostrar que el caso $$y = 0$$ existe

No hace falta, hay integrales impropias en donde la función no está definida en el extremo, por ejemplo la integral \( \int_{0}^1 \frac1{\sqrt{x}}dx=2 \). Lo que te están pidiendo es demostrar que la integral impropia \( \int_{0}^\infty \frac{\operatorname{sen} x}{x}dx \) existe, es decir, que tiene un valor definido.

Ahhh vale. Osea debo calcular un valor?


Lo he intentado aproximar numericamente (la verdad es que me tomo un momento dado a que no estoy acostrumbrado a programar) y dice que deberia salir : $$\pi/2$$.

Pero lo malo es que no encuentro forma de integrarlo. Hay un truco especial? Lo he intentado con "integration by parts"

[franma]

Buenas Chocolate,

Esa función no tiene primitiva en términos de funciones elementales.
Para evaluar la impropia debes separarla en 2, cada una con un "problema":

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\sin(y)}{y}dy + \int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin(y)}{y}dy  \)

Para el primer sumando puedes utilizar equivalentes. Para el segundo sumando puedes utilizar el criterio de Dirichlet.

Saludos,
Franco.

[Chocolate]

Buenas Chocolate,

Esa función no tiene primitiva en términos de funciones elementales.
Para evaluar la impropia debes separarla en 2, cada una con un "problema":

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\sin(y)}{y}dy + \int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin(y)}{y}dy  \)

Para el primer sumando puedes utilizar equivalentes. Para el segundo sumando puedes utilizar el criterio de Dirichlet.

Saludos,
Franco.

Muchas gracias, ni he pensado en Dirichlet. Estaba a punto de volverme muy creativo jajaaj

[Juan Pablo Sancho]

Puedes usar también :
Sea \( t > 0 \) ponemos \( t = k \pi + r_t  \) con \(  0 \leq r_t < \pi  \)
Sea ahora \( \displaystyle  a_n = |\int_{n \cdot \pi}^{(n+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy |  \).
Entonces:
\( \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \int_0^{t} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy = \lim_{k \to +\infty} \sum_{i=0}^{k} \int_i^{(i+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy + \int_{(k \cdot \pi}^{ k \cdot \pi + r_t} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy = \lim_{k \to +\infty} \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \cdot a_i + \int_{k \cdot \pi}^{ k \cdot \pi + r_t} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy \).
Donde la serie es de Leibniz y \( \displaystyle |\int_{(k \cdot \pi}^{ k \cdot \pi + r_t} \dfrac{\sen(y)}{y} \ dy| < \dfrac{1}{k}  \)