Hola,
Sea \( \left\{{X_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesión de variables aleatorias tales que \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley. (Si alguien me pudiera indicar como escribirlo en latex se lo agradezco).
Pues lo tienes bien escrito. Si quieres, entre las llaves vacías, puedes poner una \( d \) para indicar que es convergencia en distribución, así \( X_n\xrightarrow{d}X \).
Corrección: perdona, no me había dado cuenta que estabas usando \longrightarrow en vez de \xrightarrow{}. Es el segundo el que tiene la opción de ponerle cosas arriba de la flecha al escribirlas entre las llaves del final.
Me he propuesto probar que si \( c\in{\mathbb{R}} \) entonces:
1)\( X_n+c\longrightarrow{}X+c \) en ley.
2)\( cX_n\longrightarrow{}cX \) en ley.
Pero ciertamente no me sale. Pues miren, para el 1).
Tengo que probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F_{X_n+c}(x)}=F_{X+c}(x) \), pero no sé como puedo relacionar eso con \( X_n\longrightarrow{}X \) en ley, porque no sé como puedo operar con la \( c \) en ese límite.
Un saludo.
Utiliza la definición de la función de distribución, es decir, observa que
\( \displaystyle{
F_{X_n+c}(a)=\Pr [X_n+c\leqslant a]=\Pr [X_n\leqslant a-c]=F_{X_n}(a-c)
} \)
