[lafaysalve]

Hola a todos,

Como indico en el título, busco demostrar que si a es un punto de acumulación del conjunto A, entonces \( a\leq{sup A} \). Llevo un rato intentándolo pero no sé por donde tirar. ¿Tal vez por reducción al absurdo?

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Como indico en el título, busco demostrar que si a es un punto de acumulación del conjunto A, entonces \( a\leq{sup A} \). Llevo un rato intentándolo pero no sé por donde tirar. ¿Tal vez por reducción al absurdo?

Primero los casos singulares:

- Si \( A=\emptyset \) no hay puntos de acumulación de \( A \), y por tanto la propiedad se cumple trivialmente.

- Si \( Sup(A)=+\infty \) (o si no permites valores infinitos el conjunto no es acotado y el supremo no existe) la desigualdad se cumple trivialmente.

En otro caso supón \( s=sup(A) \) y si... ¿por qué no?... por reducción al absurdo: supón \( a \) es punto de acumulación de \( A \) pero \( a>s \) entonces el intervalo \( (s,+\infty) \) contiene a \( a \). Por ser este punto de acumulación de \( A \) deberías de existir \( a'\in A\cap (s,+\infty) \). ¿Sabes terminar?.

Saludos.

[lafaysalve]

Hola

Como indico en el título, busco demostrar que si a es un punto de acumulación del conjunto A, entonces \( a\leq{sup A} \). Llevo un rato intentándolo pero no sé por donde tirar. ¿Tal vez por reducción al absurdo?

Primero los casos singulares:

- Si \( A=\emptyset \) no hay puntos de acumulación de \( A \), y por tanto la propiedad se cumple trivialmente.

- Si \( Sup(A)=+\infty \) (o si no permites valores infinitos el conjunto no es acotado y el supremo no existe) la desigualdad se cumple trivialmente.

En otro caso supón \( s=sup(A) \) y si... ¿por qué no?... por reducción al absurdo: supón \( a \) es punto de acumulación de \( A \) pero \( a>s \) entonces el intervalo \( (s,+\infty) \) contiene a \( a \). Por ser este punto de acumulación de \( A \) deberías de existir \( a'\in A\cap (s,+\infty) \). ¿Sabes terminar?.

Saludos.

Tengo una duda. ¿Por qué el conjunto que utilizamos para determinar si existe a' es \( A\cap (s,+\infty) \) en vez de \( A\cap (a-\delta, a+\delta) \)? La definición de punto de acumulación que yo conozco utiliza el segundo conjunto.

Así que no, la verdad es que no sé como continuar.

Si crees que hay una alternativa más fácil que la reducción al absurdo, también me gustaría saberla.

Muchas gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo una duda. ¿Por qué el conjunto que utilizamos para determinar si existe a' es \( A\cap (s,+\infty) \) en vez de \( A\cap (a-\delta, a+\delta) \)? La definición de punto de acumulación que yo conozco utiliza el segundo conjunto.

Un punto es un punto de acumulación de \( A \) si TODO abierto que lo contiene corta a \( A \). La definición equivale a la que tu conoces. Si quieres usar tu versión simplemente en lugar de usar \( (s,+\infty) \) usa \( (a-\delta,a+\delta) \) con \( \delta=a-s \). Entonces tendrás \( a'\in A\cap (a-\delta,a+\delta)=A\cap (s,2a-s) \). Pero eso quieres decir que es has encontrado un punto \( a'\in A \) mayor que el supremo y eso contradice la definición de supremo.

El dibujo ilustra la idea:



Saludos.

[lafaysalve]

Hola

Tengo una duda. ¿Por qué el conjunto que utilizamos para determinar si existe a' es \( A\cap (s,+\infty) \) en vez de \( A\cap (a-\delta, a+\delta) \)? La definición de punto de acumulación que yo conozco utiliza el segundo conjunto.

Un punto es un punto de acumulación de \( A \) si TODO abierto que lo contiene corta a \( A \). La definición equivale a la que tu conoces. Si quieres usar tu versión simplemente en lugar de usar \( (s,+\infty) \) usa \( (a-\delta,a+\delta) \) con \( \delta=a-s \). Entonces tendrás \( a'\in A\cap (a-\delta,a+\delta)=A\cap (s,2a-s) \). Pero eso quieres decir que es has encontrado un punto \( a'\in A \) mayor que el supremo y eso contradice la definición de supremo.

El dibujo ilustra la idea:



Saludos.

Muchísimas gracias, ya lo entiendo bastante mejor.

Sin embargo, me acabo de dar cuenta que en la definición que se me ha dado el conjunto es cerrado \( [a-\delta,a+\delta] \) en vez de \( (a-\delta,a+\delta) \). Por lo tanto a' podría ser igual a s, y no habría contradicción. ¿Qué otro \( \delta \) puedo escoger para solucionar éste problema?

[Luis Fuentes]

Hola

Sin embargo, me acabo de dar cuenta que en la definición que se me ha dado el conjunto es cerrado \( [a-\delta,a+\delta] \) en vez de \( (a-\delta,a+\delta) \).

Aunque la definición es equivalente (siempre que \( \delta>0 \)) no me agrade demasiado lo de hacerla con el intervalo cerrado. Puede ser confuso cuando se compara con la extensión del concepto a cualquier topología.

 

Por lo tanto a' podría ser igual a s, y no habría contradicción. ¿Qué otro \( \delta \) puedo escoger para solucionar éste problema?

Pues un \( \delta \) más pequeñito. Cualquier \( \delta \) menor que \( a-s \). Por ejemplo \( \delta=(a-s)/2 \).

Saludos.