[crishchess]

Hola no se como desarrollar el siguiente ejercicio

Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de la ecuación dada donde la recta tangente es horizontal

\( x^2-xy+y^2=3 \)

- Derivando implícitamente

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}(x^2-xy+y^2) = \frac{dy}{dx}(3) \)

\( 2x-x \displaystyle\frac{dy}{dx}+2y \frac{dy}{dx}=0  \)

\( -x\displaystyle\frac{dy}{dx} +2y \frac{dy}{dx} = -2x+y \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}(-x+2y) =-2x+y \)

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}= \frac{-2x+y}{-x+2y} \)

Entiendo que la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva. Pero no se ahora como continuar para encontrar donde la recta tangente es horizontal.

Si es horizontal tiene pendiente 0 pero entonces debería igualar la derivada a cero reduciéndose a que \( -2x+y =0 \longrightarrow{y=2x} \) pero habríán infinitos puntos que cumplen dicha condición. ¿Esta bien lo que digo o estoy razonando mal?

Saludos

Muchas gracias

[franma]

Buenas crishchess,

Si es horizontal tiene pendiente 0 pero entonces debería igualar la derivada a cero reduciéndose a que \( -2x+y =0 \longrightarrow{y=2x} \) pero habríán infinitos puntos que cumplen dicha condición. ¿Esta bien lo que digo o estoy razonando mal?

Hasta aquí lo veo todo bien. Solamente recuerda que \( y \) no esta "libre" si no que es dependiente de \( x \). Realizando un procedimiento similar al ejercicio 54 visto anteriormente:

Spoiler

\( x^2-xy+y^2=3 \)

\( -xy+y^2=3-x^2 \)

\( \left( y - \dfrac{1}{2}x\right)^2 -\dfrac{1}{4}x^2 =3-x^2 \)

\( \left( y - \dfrac{1}{2}x\right)^2=3-\dfrac{3}{4}x^2 \)

\( y  =\pm \sqrt{3-\dfrac{3}{4}x^2} + \dfrac{1}{2}x \)

[cerrar]

Ahora resuelve \( y=2x \) pero teniendo en cuenta la expresión para \( y \). Deberás resolverlo una vez con la raíz positiva y otra negativa, de esa manera obtendrás 2 puntos \( (x,y(x)) \) donde la pendiente es la buscada.

Cualquier duda consulta de nuevo.

Saludos,
Franco.

[crishchess]

Buenas crishchess,

Si es horizontal tiene pendiente 0 pero entonces debería igualar la derivada a cero reduciéndose a que \( -2x+y =0 \longrightarrow{y=2x} \) pero habríán infinitos puntos que cumplen dicha condición. ¿Esta bien lo que digo o estoy razonando mal?

Hasta aquí lo veo todo bien. Solamente recuerda que \( y \) no esta "libre" si no que es dependiente de \( x \). Realizando un procedimiento similar al ejercicio 54 visto anteriormente:

Spoiler

\( x^2-xy+y^2=3 \)

\( -xy+y^2=3-x^2 \)

\( \left( y - \dfrac{1}{2}x\right)^2 -\dfrac{1}{4}x^2 =3-x^2 \)

\( \left( y - \dfrac{1}{2}x\right)^2=3-\dfrac{3}{4}x^2 \)

\( y  =\pm \sqrt{3-\dfrac{3}{4}x^2} + \dfrac{1}{2}x \)

[cerrar]

Ahora resuelve \( y=2x \) pero teniendo en cuenta la expresión para \( y \). Deberás resolverlo una vez con la raíz positiva y otra negativa, de esa manera obtendrás 2 puntos \( (x,y(x)) \) donde la pendiente es la buscada.

Cualquier duda consulta de nuevo.

Saludos,
Franco.

Muchas gracias Franco ya con esto puedo continuar solo.

Saludos